Câu 2 Đề I trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao


Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4; -1; 2), B(1; 2; 2) và C(1; -1; 5). a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều. b) Viết phương trình mp(ABC). Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mp(ABC) và các mặt phẳng tọa độ. c) Viết phương trình trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. d) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là tứ diện đều.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4; -1; 2), B(1; 2; 2) và C(1; -1; 5).

LG a

Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left( { - 3,3,0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 3,0,3} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0, - 3,3} \right) \cr 
& \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2} + {0^2}} = 3\sqrt 2 \cr 
& AC = 3\sqrt 2 \cr 
& BC = 3\sqrt 2 \cr 
& \Rightarrow AB = BC = AC = 3\sqrt 2 . \cr} \)

Vậy tam giác ABC đều.

LG b

Viết phương trình mp(ABC). Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mp(ABC) và các mặt phẳng tọa độ.

Lời giải chi tiết:

 Ta có: 

(ABC) đi qua A và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1;1;1} \right)\) là 1 vectơ pháp tuyến nên (ABC) có phương trình: \(\left( {x - 4} \right) + \left( {y + 1} \right) + \left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 5 = 0.\)
Mặt phẳng (ABC) cắt với trục Ox tại điểm A’(5; 0; 0)
Mặt phẳng (ABC) cắt trục Oy tại điểm B’(0; 5; 0)
Mặt phẳng (ABC) cắt trục Oz tại điểm C’(0; 0; 5).

Khi đó khối tứ diện giới hạn bởi mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng tọa độ là tứ diện OA’B’C’ và \({V_{OA'B'C'}} = {1 \over 6}OA'.OB'.OC' = {1 \over 6}.5.5.5 = {{125} \over 6}.\)

LG c

Viết phương trình trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

Gọi I(a, b, c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} \Leftrightarrow {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} \hfill \cr 
IA = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{C^2} \Leftrightarrow {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 5} \right)^2} \hfill \cr 
I \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow a + b + c - 5 = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 8a + 16 + 2b + 1 = - 2a + 1 - 4b + 4 \hfill \cr 
- 8a + 16 + 2b + 1 - 4c + 4 = - 2a + 1 + 2b + 1 - 10c + 25 \hfill \cr 
a + b + c - 5 = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
6a - 6b = 12 \hfill \cr 
6a - 6c = - 6 \hfill \cr 
a + b + a = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a - b = 2 \hfill \cr 
a - c = - 1 \hfill \cr 
a + b + c = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 2 \hfill \cr 
b = 0 \hfill \cr 
c = 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow I\left( {2,0,3} \right). \cr} \)

Trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (ABC) nên trục đó đi qua I(2; 0; 3) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1,1,1} \right)\) là 1 vectơ chỉ phương.

Do đó trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình: 

\(\left\{ \matrix{
x = 2 + t \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = 3 + t \hfill \cr} \right.\,\,\left( \Delta \right)\)

LG d

Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là tứ diện đều.

Lời giải chi tiết:

Để ABCD là tứ diện đều thì \(D \in \left( \Delta  \right) \Rightarrow D\left( {2 + t,t,3 + t} \right).\)

Và \(DA = AB = 3\sqrt 2  \Leftrightarrow D{A^2} = 18.\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {t + 1} \right)^2} + {\left( {t + 1} \right)^2} = 18 \cr 
& \Leftrightarrow 3{t^2} = 12 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 2 \hfill \cr 
t = - 2 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
D\left( {4,2,5} \right) \hfill \cr 
D\left( {0, - 2,1} \right) \hfill \cr} \right.. \cr} \)

Vậy có hai điểm D để ABCD là tứ diện đều là \(D\left( {4,2,5} \right)\) hoặc \(D\left( {0, - 2,1} \right)\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - III. Một số đề kiểm tra

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài