Câu 2 Đề II trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao


Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0), A’(6; 0; 0), B(0; 3; 0), B’(0 ;4; 0), C(0; 0; 4), C’(0; 0; 3). a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, A’, B, C. Chứng minh rằng B’ và C’ cũng nằm trên mặt cầu đó. b) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC, trọng tâm G của tam giác A’B’C’ cùng nằm trên một đường thẳng đi qua O. Viết phương trình đường thẳng đó. c) Tính khoảng cách từ điểm O tới giao tuyến của mp(ABC’) và mp(A’B’C).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0), A’(6; 0; 0), B(0; 3; 0), B’(0 ;4; 0), C(0; 0; 4), C’(0; 0; 3).

LG a

Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, A’, B, C. Chứng minh rằng B’ và C’ cũng nằm trên mặt cầu đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, A’, B, C là \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)

\(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0,{a^2} + {b^2} + {c^2} > d} \right)\)

Khi đó tọa độ các điểm A, A’, B, C phải thỏa mãn phương trình mặt cầu nên ta có hệ:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - 4a + d = 0}\\{36 - 12a + d = 0}\\{9 - 6b + d = 0}\\{16 - 8c + d = 0}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = \dfrac{7}{2}\\c = \dfrac{7}{2}\\d = 12\end{array} \right.\left( {tm} \right)}\end{array}\)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 7y - 7z + 12 = 0\,\,\left( * \right).\)

Thay tọa độ của điểm B’ vào (*) ta có: \(16 - 7.4 + 12 = 0 \Rightarrow B' \in \left( S \right)\)

Thay tọa độ của điểm C’ vào (*) ta có: \(9 - 7.3 + 12 = 0 \Rightarrow C' \in \left( S \right).\)

LG b

Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC, trọng tâm G của tam giác A’B’C’ cùng nằm trên một đường thẳng đi qua O. Viết phương trình đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm của tam giác A’B’C’ ta có: \(G\left( {2,{4 \over 3},1} \right).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OG}  = \left( {2,{4 \over 3},1} \right) = {1 \over 3}\left( {6,4,3} \right).\)

Đường thẳng d đi qua O, G nhận \(\overrightarrow u  = \left( {6;4;3} \right)\) là 1 vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của d là

\(\left\{ \matrix{
x = 6t \hfill \cr
y = 4t \hfill \cr 
z = 3t \hfill \cr} \right.\)

Gọi H(x, y, z) là trực tâm của tam giác ABC ta có:

\(\left\{ \matrix{
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr 
\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left( {x - 2,y,z} \right).\left( {0, - 3,4} \right) = 0 \hfill \cr 
\left( {x,y - 3,z} \right).\left( { - 2,0,4} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 3y + 4z = 0 \hfill \cr 
- 2x + 4z = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 2x = 3y = 4z.\)

Đặt \(2x = 3y = 4z = 12a \Rightarrow x = 6a,y = 4a,z = 3a \Rightarrow H\left( {6a,4a,3a} \right)\)
Rõ ràng khi t = a thì \(H \in \left( d \right) \Rightarrow \)O, H, G cùng nằm trên đường thẳng có phương trình 

\(\left\{ \matrix{
x = 6t \hfill \cr 
y = 4t \hfill \cr 
z = 3t \hfill \cr} \right.\)

LG c

Tính khoảng cách từ điểm O tới giao tuyến của mp(ABC’) và mp(A’B’C).

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3;0} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2;0;3} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&0\\0&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 2}\\3&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3\\{ - 2}&0\end{array}} \right|} \right)\\ = \left( {9;6;6} \right) = 3\left( {3;2;2} \right)\end{array}\)

Mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) đi qua A và nhận \(\overrightarrow n \left( {3;2;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên (A’B’C’) có phương trình

\(\begin{array}{l}2\left( {x - 6} \right) + 3\left( {y - 0} \right) + 3\left( {z - 0} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2x + 3y + 3z - 12 = 0\end{array}\)

Giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC’) và (A’B’C’) ;à tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y + 2z - 6 = 0\\2x + 3y + 3z - 12 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{6}{5}\\y = t\\z = \dfrac{{24}}{5} - t\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC’) và (A’B’C’) có phương trình \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{6}{5}\\y = t\\x = \dfrac{{24}}{5} - t\end{array} \right.\)

\(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( { - \dfrac{6}{5};0;\dfrac{{24}}{5}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {0;1; - 1} \right)\).

\(\begin{array}{l}d\left( {O;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}\\ = \dfrac{{\sqrt {{{\left( { - \dfrac{{24}}{5}} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{6}{5}} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{6}{5}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{18}}{5}\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - III. Một số đề kiểm tra

  • Câu 1 Đề I trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a va cạnh bên bằng . a) Tính thể tích của hình chóp đã cho. b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. c) Gọi A’ và C’ lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và SC. Chứng minh rằng hai hình chóp A’.ABCD và C’.CBAD bằng nhau.

  • Câu 1 Đề II trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Câu 1. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và AD. a) Chứng minh rằng 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ nằm trên một mặt cầu. Tìm bán kính của mặt cầu đó. b) Tính thể tích khối chóp D.BCC’B’.

  • Câu 1 Đề III trang 133 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Câu 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi N là điểm nằm trên cạnh AB và là mặt phẳng đi qua ba điểm D, N, B’. a) Mặt phẳng cắt hình hộp đã cho theo thiết diện là hình gì? b) Chứng minh rằng mặt phẳng phân chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện và bằng nhau. c) Tính tỉ số thể tích của khối đa diện và thể tích của khối tứ diện AA’BD.

  • Câu 2 Đề III trang 133 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; -3; -1) và B(-2; 1; 3). a) Chứng tỏ rằng hai điểm A và B cách đều trục Ox. b) Tìm điểm C nằm trên trục Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C. c) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB trên mp(Oyz). d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B và có tâm nằm trên mp(Oxy).

  • Câu 2 Đề I trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4; -1; 2), B(1; 2; 2) và C(1; -1; 5). a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều. b) Viết phương trình mp(ABC). Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mp(ABC) và các mặt phẳng tọa độ. c) Viết phương trình trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. d) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là tứ diện đều.

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài