Câu 2 Đề II trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao


Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0), A’(6; 0; 0), B(0; 3; 0), B’(0 ;4; 0), C(0; 0; 4), C’(0; 0; 3). a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, A’, B, C. Chứng minh rằng B’ và C’ cũng nằm trên mặt cầu đó. b) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC, trọng tâm G của tam giác A’B’C’ cùng nằm trên một đường thẳng đi qua O. Viết phương trình đường thẳng đó. c) Tính khoảng cách từ điểm O tới giao tuyến của mp(ABC’) và mp(A’B’C).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0), A’(6; 0; 0), B(0; 3; 0), B’(0 ;4; 0), C(0; 0; 4), C’(0; 0; 3).

LG a

Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, A’, B, C. Chứng minh rằng B’ và C’ cũng nằm trên mặt cầu đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, A’, B, C là \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)

\(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0,{a^2} + {b^2} + {c^2} > d} \right)\)

Khi đó tọa độ các điểm A, A’, B, C phải thỏa mãn phương trình mặt cầu nên ta có hệ:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - 4a + d = 0}\\{36 - 12a + d = 0}\\{9 - 6b + d = 0}\\{16 - 8c + d = 0}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = \dfrac{7}{2}\\c = \dfrac{7}{2}\\d = 12\end{array} \right.\left( {tm} \right)}\end{array}\)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 7y - 7z + 12 = 0\,\,\left( * \right).\)

Thay tọa độ của điểm B’ vào (*) ta có: \(16 - 7.4 + 12 = 0 \Rightarrow B' \in \left( S \right)\)

Thay tọa độ của điểm C’ vào (*) ta có: \(9 - 7.3 + 12 = 0 \Rightarrow C' \in \left( S \right).\)

LG b

Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC, trọng tâm G của tam giác A’B’C’ cùng nằm trên một đường thẳng đi qua O. Viết phương trình đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm của tam giác A’B’C’ ta có: \(G\left( {2,{4 \over 3},1} \right).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OG}  = \left( {2,{4 \over 3},1} \right) = {1 \over 3}\left( {6,4,3} \right).\)

Đường thẳng d đi qua O, G nhận \(\overrightarrow u  = \left( {6;4;3} \right)\) là 1 vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của d là

\(\left\{ \matrix{
x = 6t \hfill \cr
y = 4t \hfill \cr 
z = 3t \hfill \cr} \right.\)

Gọi H(x, y, z) là trực tâm của tam giác ABC ta có:

\(\left\{ \matrix{
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr 
\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left( {x - 2,y,z} \right).\left( {0, - 3,4} \right) = 0 \hfill \cr 
\left( {x,y - 3,z} \right).\left( { - 2,0,4} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 3y + 4z = 0 \hfill \cr 
- 2x + 4z = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 2x = 3y = 4z.\)

Đặt \(2x = 3y = 4z = 12a \Rightarrow x = 6a,y = 4a,z = 3a \Rightarrow H\left( {6a,4a,3a} \right)\)
Rõ ràng khi t = a thì \(H \in \left( d \right) \Rightarrow \)O, H, G cùng nằm trên đường thẳng có phương trình 

\(\left\{ \matrix{
x = 6t \hfill \cr 
y = 4t \hfill \cr 
z = 3t \hfill \cr} \right.\)

LG c

Tính khoảng cách từ điểm O tới giao tuyến của mp(ABC’) và mp(A’B’C).

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3;0} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2;0;3} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&0\\0&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 2}\\3&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3\\{ - 2}&0\end{array}} \right|} \right)\\ = \left( {9;6;6} \right) = 3\left( {3;2;2} \right)\end{array}\)

Mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) đi qua A và nhận \(\overrightarrow n \left( {3;2;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên (A’B’C’) có phương trình

\(\begin{array}{l}2\left( {x - 6} \right) + 3\left( {y - 0} \right) + 3\left( {z - 0} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2x + 3y + 3z - 12 = 0\end{array}\)

Giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC’) và (A’B’C’) ;à tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y + 2z - 6 = 0\\2x + 3y + 3z - 12 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{6}{5}\\y = t\\z = \dfrac{{24}}{5} - t\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC’) và (A’B’C’) có phương trình \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{6}{5}\\y = t\\x = \dfrac{{24}}{5} - t\end{array} \right.\)

\(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( { - \dfrac{6}{5};0;\dfrac{{24}}{5}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {0;1; - 1} \right)\).

\(\begin{array}{l}d\left( {O;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}\\ = \dfrac{{\sqrt {{{\left( { - \dfrac{{24}}{5}} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{6}{5}} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{6}{5}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{18}}{5}\end{array}\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - III. Một số đề kiểm tra

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài