Câu 2 Đề III trang 133 SGK Hình học 12 Nâng cao


Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; -3; -1) và B(-2; 1; 3). a) Chứng tỏ rằng hai điểm A và B cách đều trục Ox. b) Tìm điểm C nằm trên trục Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C. c) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB trên mp(Oyz). d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B và có tâm nằm trên mp(Oxy).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; -3; -1) và B(-2; 1; 3).

LG a

Chứng tỏ rằng hai điểm A và B cách đều trục Ox.

Lời giải chi tiết:

Ta có Ox đi qua O(0, 0, 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i  = \left( {1,0,0} \right).\)


\( \Rightarrow d\left( {A;Ox} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow i } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { 3} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \sqrt {10} .\)


\(\eqalign{
& \Rightarrow d\left( {B;Ox} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow i } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow i } \right|}} \cr&= {{\sqrt {{0^2} + {3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \sqrt {10} . \cr 
& \Rightarrow d\left( {A;Ox} \right) = d\left( {B;Ox} \right). \cr} \)

Vậy A và B cách đều trục Ox.

LG b

Tìm điểm C nằm trên trục Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C.

Lời giải chi tiết:

Điểm \(C \in Oz\) nên \(C\left( {0,0,c} \right)\). 
Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1,3,c + 1} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {2, - 1,c - 3} \right).\)
Tam giác ABC vuông tại C nên

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = 0 \cr&\Leftrightarrow - 2 - 3 + \left( {c + 1} \right)\left( {c - 3} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow - 5 + {c^2} - 2c - 3 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {c^2} - 2c - 8 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 4 \hfill \cr 
c = - 2 \hfill \cr} \right.. \cr} \)

Vậy có 2 điểm C thỏa mãn đề bài là \(C\left( {0,0,4} \right)\) hoặc \(C\left( {0,0, - 2} \right).\)

LG c

Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB trên mp(Oyz).

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu của A trên mp(Oyz) là \(A'\left( {0, - 3, - 1} \right)\) và hình chiếu của B trên mp(Oyz) là \(B'\left( {0,1,3} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {A'B'}  = \left( {0,4,4} \right) = 4\left( {0,1,1} \right).\)

Suy ra hình chiếu d’ của AB trên mp(Oyz) là đường thẳng đi qua A’ và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {0,1,1} \right)\) và 1 vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của d’ là: 

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
y = - 3 + t \hfill \cr 
z = - 1 + t \hfill \cr} \right..\)

LG d

Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B và có tâm nằm trên mp(Oxy).

Lời giải chi tiết:

Gọi I là tâm của mặt cầu. Vì \(I \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow I\left( {a,b,0} \right).\)
Khi đó phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by + d = 0.\)
Vì O, A, B thuộc mặt cầu nên tọa độ của O, A, B thỏa mãn phương tình mặt cầu.
Từ đó ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
d = 0 \hfill \cr 
1 + 9 + 1 - 2a + 6b + d = 0 \hfill \cr 
4 + 1 + 9 + 4a - 2b + d = 0 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
d = 0 \hfill \cr 
- 2a + 6b = - 11 \hfill \cr 
4a - 2b = - 14 \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = {{ - 53} \over {10}} \hfill \cr 
b = - {{18} \over 5} \hfill \cr 
d = 0 \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình mặt cầu thỏa mãn đề bài là: 

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + {{53} \over 5}x + {{36} \over 5}y = 0\)

\(\Leftrightarrow 5{x^2} + 5{y^2} + 5{z^2} + 53x + 36y = 0.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - III. Một số đề kiểm tra

  • Câu 2 Đề II trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0), A’(6; 0; 0), B(0; 3; 0), B’(0 ;4; 0), C(0; 0; 4), C’(0; 0; 3). a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, A’, B, C. Chứng minh rằng B’ và C’ cũng nằm trên mặt cầu đó. b) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC, trọng tâm G của tam giác A’B’C’ cùng nằm trên một đường thẳng đi qua O. Viết phương trình đường thẳng đó. c) Tính khoảng cách từ điểm O tới giao tuyến của mp(ABC’) và mp(A’B’C).

  • Câu 1 Đề I trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a va cạnh bên bằng . a) Tính thể tích của hình chóp đã cho. b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. c) Gọi A’ và C’ lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và SC. Chứng minh rằng hai hình chóp A’.ABCD và C’.CBAD bằng nhau.

  • Câu 1 Đề II trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Câu 1. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và AD. a) Chứng minh rằng 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ nằm trên một mặt cầu. Tìm bán kính của mặt cầu đó. b) Tính thể tích khối chóp D.BCC’B’.

  • Câu 1 Đề III trang 133 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Câu 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi N là điểm nằm trên cạnh AB và là mặt phẳng đi qua ba điểm D, N, B’. a) Mặt phẳng cắt hình hộp đã cho theo thiết diện là hình gì? b) Chứng minh rằng mặt phẳng phân chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện và bằng nhau. c) Tính tỉ số thể tích của khối đa diện và thể tích của khối tứ diện AA’BD.

  • Câu 2 Đề I trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4; -1; 2), B(1; 2; 2) và C(1; -1; 5). a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều. b) Viết phương trình mp(ABC). Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mp(ABC) và các mặt phẳng tọa độ. c) Viết phương trình trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. d) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là tứ diện đều.

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài