Câu 2 Đề III trang 133 SGK Hình học 12 Nâng cao


Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; -3; -1) và B(-2; 1; 3). a) Chứng tỏ rằng hai điểm A và B cách đều trục Ox. b) Tìm điểm C nằm trên trục Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C. c) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB trên mp(Oyz). d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B và có tâm nằm trên mp(Oxy).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; -3; -1) và B(-2; 1; 3).

LG a

Chứng tỏ rằng hai điểm A và B cách đều trục Ox.

Lời giải chi tiết:

Ta có Ox đi qua O(0, 0, 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i  = \left( {1,0,0} \right).\)


\( \Rightarrow d\left( {A;Ox} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow i } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { 3} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \sqrt {10} .\)


\(\eqalign{
& \Rightarrow d\left( {B;Ox} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow i } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow i } \right|}} \cr&= {{\sqrt {{0^2} + {3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \sqrt {10} . \cr 
& \Rightarrow d\left( {A;Ox} \right) = d\left( {B;Ox} \right). \cr} \)

Vậy A và B cách đều trục Ox.

LG b

Tìm điểm C nằm trên trục Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C.

Lời giải chi tiết:

Điểm \(C \in Oz\) nên \(C\left( {0,0,c} \right)\). 
Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1,3,c + 1} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {2, - 1,c - 3} \right).\)
Tam giác ABC vuông tại C nên

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = 0 \cr&\Leftrightarrow - 2 - 3 + \left( {c + 1} \right)\left( {c - 3} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow - 5 + {c^2} - 2c - 3 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {c^2} - 2c - 8 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 4 \hfill \cr 
c = - 2 \hfill \cr} \right.. \cr} \)

Vậy có 2 điểm C thỏa mãn đề bài là \(C\left( {0,0,4} \right)\) hoặc \(C\left( {0,0, - 2} \right).\)

LG c

Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB trên mp(Oyz).

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu của A trên mp(Oyz) là \(A'\left( {0, - 3, - 1} \right)\) và hình chiếu của B trên mp(Oyz) là \(B'\left( {0,1,3} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {A'B'}  = \left( {0,4,4} \right) = 4\left( {0,1,1} \right).\)

Suy ra hình chiếu d’ của AB trên mp(Oyz) là đường thẳng đi qua A’ và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {0,1,1} \right)\) và 1 vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của d’ là: 

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
y = - 3 + t \hfill \cr 
z = - 1 + t \hfill \cr} \right..\)

LG d

Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B và có tâm nằm trên mp(Oxy).

Lời giải chi tiết:

Gọi I là tâm của mặt cầu. Vì \(I \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow I\left( {a,b,0} \right).\)
Khi đó phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by + d = 0.\)
Vì O, A, B thuộc mặt cầu nên tọa độ của O, A, B thỏa mãn phương tình mặt cầu.
Từ đó ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
d = 0 \hfill \cr 
1 + 9 + 1 - 2a + 6b + d = 0 \hfill \cr 
4 + 1 + 9 + 4a - 2b + d = 0 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
d = 0 \hfill \cr 
- 2a + 6b = - 11 \hfill \cr 
4a - 2b = - 14 \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = {{ - 53} \over {10}} \hfill \cr 
b = - {{18} \over 5} \hfill \cr 
d = 0 \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình mặt cầu thỏa mãn đề bài là: 

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + {{53} \over 5}x + {{36} \over 5}y = 0\)

\(\Leftrightarrow 5{x^2} + 5{y^2} + 5{z^2} + 53x + 36y = 0.\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - III. Một số đề kiểm tra

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài