Câu 1 Đề II trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao


Câu 1. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và AD. a) Chứng minh rằng 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ nằm trên một mặt cầu. Tìm bán kính của mặt cầu đó. b) Tính thể tích khối chóp D.BCC’B’.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Câu 1. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và AD.

LG a

Chứng minh rằng 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ nằm trên một mặt cầu. Tìm bán kính của mặt cầu đó.

Lời giải chi tiết:

Câu 1.

 

Ta có: \(B'C' = C'D' = D'B' = {a \over 2} \Rightarrow \Delta B'C'D'\) là tam giác đều cạnh \({a \over 2}.\)
Và \(AB' = AC' = AD' = {a \over 2} \Rightarrow \) AB’C’D’ là tứ diện đều cạnh \({a \over 2}.\)
Gọi O và O’ lần lượt là tâm các tam giác đều BCD và B’C’D’.
Vì từ diện ABCD đều nên \(AO \bot \left( {BCD} \right)\).
Vì từ diện AB’C’D’ đều nên \(AO' \bot \left( {B'C'D'} \right)\).
Mà (BCD) // (B’C’D’)
Gọi E là trung điểm của CD. Dễ thấy tam giác EAB cân tại E nên \(B'E \bot AB.\)
Gọi H là trung điểm của BB', trong (ABE) kẻ đường thẳng d qua H và song song với B’E cắt AO tại I.

\( \Rightarrow HI \bot AB.\)

Ta có: \(I \in HI \Rightarrow IB = IB'\)

\(\eqalign{
& I \in OA \Rightarrow IB = IC = ID \cr 
& I \in O'A \Rightarrow IB' = IC' = ID' \cr} \)

Từ đó suy ra \(IB = IC = ID = IB’ = IC’ = ID’\).

Vậy điểm I cách đều 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ hay 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ cùng nằm trên mặt cầu tâm I bán kính R = IB.

Gọi  \(J = B'E \cap AO.\)

Tam giác BCD đều cạnh a nên \(BE = {{a\sqrt 3 } \over 2} \Rightarrow OE = {1 \over 3}BE = {{a\sqrt 3 } \over 6}.\)

Tam giác B’C’D’ đều cạnh \({a \over 2}\) nên \(B'F = {{{a \over 2}\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 4} \Rightarrow B'O' = {2 \over 3}B'F = {{a\sqrt 3 } \over 6}.\)
Vì B’F // BE nên theo định lí Ta-let ta có: \({{B'J} \over {JE}} = {{B'O'} \over {OE}} = 1 \Rightarrow B'J = JE. \Rightarrow B'J = {1 \over 2}B'E.\)
Tam giác ACD đều cạnh a nên \(AE = {{a\sqrt 3 } \over 2},AB' = {1 \over 2}AB = {a \over 2}.\)

Xét tam giác vuông AB’E có: \(B'E = \sqrt {A{E^2} - AB{'^2}}  = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over 4}}  = {{a\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow B'J = {{a\sqrt 2 } \over 4}.\)
B’J // HI nên theo định lí Ta – let ta có: \({{B'J} \over {HI}} = {{AB'} \over {AH}} = {2 \over 3} \Rightarrow HI = {{3B'J} \over 2} = {{3{{a\sqrt 2 } \over 4}} \over 2} = {{3a\sqrt 2 } \over 8}\).
Xét tam giác vuông BHI có:

\(BI = \sqrt {B{H^2} + H{I^2}}  = \sqrt {{{{a^2}} \over {16}} + {{9{a^2}} \over {32}}}  = \sqrt {{{11{a^2}} \over {32}}}  = {{a\sqrt {22} } \over 8} = R.\)

LG b

Tính thể tích khối chóp D.BCC’B’.

Lời giải chi tiết:

 theo tỉ số \(k = {1 \over 2} \Rightarrow {{{S_{AB'C'}}} \over {{S_{ABC}}}} = {1 \over 4} \Rightarrow {S_{BCC'B'}} = {3 \over 4}{S_{ABC}}.\)
\( \Rightarrow {{{V_{D.BCC'B'}}} \over {{V_{D.ABC}}}} = {3 \over 4} \Rightarrow {V_{D.BCC'B'}} = {3 \over 4}{V_{ABCD}}.\)
Xét tam giác vuông AOE có:

\(\eqalign{
& AO = \sqrt {A{E^2} - O{E^2}} = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over {12}}} = {{a\sqrt 6 } \over 3}. \cr 
& {S_{BCD}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} \cr 
& \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 3}AO.{S_{BCD}} = {1 \over 3}.{{a\sqrt 6 } \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{{a^3}\sqrt 2 } \over {12}}. \cr 
& \Rightarrow {V_{D.BCC'B'}} = {3 \over 4}{{{a^3}\sqrt 2 } \over {12}} = {{{a^3}\sqrt 2 } \over {16}}. \cr} \)

Loigiaihay.com 


Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu

Các bài liên quan: - III. Một số đề kiểm tra

  • Câu 1 Đề III trang 133 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Câu 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi N là điểm nằm trên cạnh AB và là mặt phẳng đi qua ba điểm D, N, B’. a) Mặt phẳng cắt hình hộp đã cho theo thiết diện là hình gì? b) Chứng minh rằng mặt phẳng phân chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện và bằng nhau. c) Tính tỉ số thể tích của khối đa diện và thể tích của khối tứ diện AA’BD.

  • Câu 1 Đề I trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a va cạnh bên bằng . a) Tính thể tích của hình chóp đã cho. b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. c) Gọi A’ và C’ lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và SC. Chứng minh rằng hai hình chóp A’.ABCD và C’.CBAD bằng nhau.

  • Câu 2 Đề II trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0), A’(6; 0; 0), B(0; 3; 0), B’(0 ;4; 0), C(0; 0; 4), C’(0; 0; 3). a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, A’, B, C. Chứng minh rằng B’ và C’ cũng nằm trên mặt cầu đó. b) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC, trọng tâm G của tam giác A’B’C’ cùng nằm trên một đường thẳng đi qua O. Viết phương trình đường thẳng đó. c) Tính khoảng cách từ điểm O tới giao tuyến của mp(ABC’) và mp(A’B’C).

  • Câu 2 Đề III trang 133 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; -3; -1) và B(-2; 1; 3). a) Chứng tỏ rằng hai điểm A và B cách đều trục Ox. b) Tìm điểm C nằm trên trục Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C. c) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB trên mp(Oyz). d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B và có tâm nằm trên mp(Oxy).

  • Câu 2 Đề I trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4; -1; 2), B(1; 2; 2) và C(1; -1; 5). a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều. b) Viết phương trình mp(ABC). Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mp(ABC) và các mặt phẳng tọa độ. c) Viết phương trình trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. d) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là tứ diện đều.

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài