Bài 2 trang 89 SGK Hình học 12


Giải bài 2 trang 89 SGK Hình học 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên các trục.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d\): \(\left\{\begin{matrix} x=2+t  \\ y=-3+2t  \\ z= 1+3t \end{matrix}\right.\) lần lượt trên các mặt phẳng sau:

LG a

a) \((Oxy)\) ;

Phương pháp giải:

Cách 1:

Phương pháp viết phương trình hình chiếu \((d')\) của đường thẳng \((d)\) trên mặt phẳng \((P)\):

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng \((Q)\) chứa \((d )\) và vuông góc với \((P\)).

- \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left[ {{{\overrightarrow u }_{\left( d \right)}};{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right]\).

- \(M \in d \Rightarrow M \in \left( Q \right)\) (với M là một điểm bất kì).

Bước 2: \(d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\). Viết phương trình đường thẳng \((d')\).

Cách 2:

Lấy 2 điểm \(A,B\) bất kì thuộc d, gọi \(A',B'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên (P). Khi đó \((d')\) chính là đường thẳng \(A'B'\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng vuông góc \(\left( {Oxy} \right)\) và chứa \(d\).

Khi đó \(\Delta  = \left( P \right) \cap \left( {Oxy} \right)\) là hình chiếu của \(d\) lên \(\left( {Oxy} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \((Oxy)\) có dạng: \(z = 0\); vectơ \(\overrightarrow{k}\)(0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của  \((Oxy)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  \bot \overrightarrow k \\\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  \bot \overrightarrow {{u_d}} \end{array} \right.\) \(\Rightarrow \overrightarrow{n_{(P)}}=\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{k} \right ] = (2 ; -1 ; 0)\) là vectơ pháp tuyến của \((P)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng: \(2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x - y - 7 = 0\).

\(\Delta  = \left( P \right) \cap \left( {Oxy} \right)\) \(\Rightarrow \Delta :\left\{\begin{matrix} z=0 & \\ 2x-y-7=0.& \end{matrix}\right.\)

Chọn \({M_0}\left( {4;1;0} \right) \in \left( P \right) \cap \left( {Oxy} \right)\).

\(\Delta  = \left( P \right) \cap \left( {Oxy} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \\\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow k \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( {1;2;0} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {4;1;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1;2;0} \right)\) làm VTCP nên \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + 2t\\z = 0\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).

Cách khác:

+) t = 0 ⇒ điểm M(2; -3; 1) ∈ d

+) t = 1 ⇒ điểm N(3; -1; 4) ∈ d.

Hình chiếu của M trên (Oxy) là M’(2 ; -3 ; 0).

Hình chiếu của N trên (Oxy) là : N’(3 ; -1 ; 0).

⇒ Hình chiếu của d trên (Oxy) là đường thẳng d’ đi qua M’ và N’.

⇒ d’ đi qua M'(2;-3;0) và nhận \(\overrightarrow {M'N'}  = \left( {1;2;0} \right)\) là 1 vtcp.

\(⇒  d':\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + t\\
y = - 3 + 2t\\
z = 0
\end{array} \right.\)

LG b

b) \((Oyz)\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \((Oyz)\) có phương trình \(x = 0\).

Lấy \(M_1( 2 ;- 3 ; 1) ∈ d\) và  \(M_2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d\).

+) Hình chiếu vuông góc của \(M_1\) trên \((Oyz)\) là \(M_1\)'\((0 ; -3 ; 1)\).

+) Hình chiếu vuông góc của \(M_2\) trên \((Oyz)\) là chính nó.

Đường thẳng \(∆\) qua \({M_1}',{M_2}\) chính là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \((Oyz)\).

Ta có: \(\overrightarrow{M'_{1}M_{2}}(0 ; -4 ; -6)\) // \(\overrightarrow{v} (0 ; 2 ; 3)\).

Phương trình \(M'_1M_2\) có dạng: \(\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=-3+2t&,t \in R \\ z=1+3t& \end{matrix}\right.\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3.8 trên 16 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài