

Giải bài 2 trang 89 SGK Hình học 12>
Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên các trục.
GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT
Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn
Video hướng dẫn giải
Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d\): \(\left\{\begin{matrix} x=2+t \\ y=-3+2t \\ z= 1+3t \end{matrix}\right.\) lần lượt trên các mặt phẳng sau:
LG a
a) \((Oxy)\) ;
Phương pháp giải:
Cách 1:
Phương pháp viết phương trình hình chiếu \((d')\) của đường thẳng \((d)\) trên mặt phẳng \((P)\):
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng \((Q)\) chứa \((d )\) và vuông góc với \((P\)).
- \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left[ {{{\overrightarrow u }_{\left( d \right)}};{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right]\).
- \(M \in d \Rightarrow M \in \left( Q \right)\) (với M là một điểm bất kì).
Bước 2: \(d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\). Viết phương trình đường thẳng \((d')\).
Cách 2:
Lấy 2 điểm \(A,B\) bất kì thuộc d, gọi \(A',B'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên (P). Khi đó \((d')\) chính là đường thẳng \(A'B'\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng vuông góc \(\left( {Oxy} \right)\) và chứa \(d\).
Khi đó \(\Delta = \left( P \right) \cap \left( {Oxy} \right)\) là hình chiếu của \(d\) lên \(\left( {Oxy} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \((Oxy)\) có dạng: \(z = 0\); vectơ \(\overrightarrow{k}\)(0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của \((Oxy)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \bot \overrightarrow k \\\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \bot \overrightarrow {{u_d}} \end{array} \right.\) \(\Rightarrow \overrightarrow{n_{(P)}}=\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{k} \right ] = (2 ; -1 ; 0)\) là vectơ pháp tuyến của \((P)\).
Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng: \(2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x - y - 7 = 0\).
\(\Delta = \left( P \right) \cap \left( {Oxy} \right)\) \(\Rightarrow \Delta :\left\{\begin{matrix} z=0 & \\ 2x-y-7=0.& \end{matrix}\right.\)
Chọn \({M_0}\left( {4;1;0} \right) \in \left( P \right) \cap \left( {Oxy} \right)\).
\(\Delta = \left( P \right) \cap \left( {Oxy} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \\\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow k \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( {1;2;0} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {4;1;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;2;0} \right)\) làm VTCP nên \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + 2t\\z = 0\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).
Cách khác:
+) t = 0 ⇒ điểm M(2; -3; 1) ∈ d
+) t = 1 ⇒ điểm N(3; -1; 4) ∈ d.
Hình chiếu của M trên (Oxy) là M’(2 ; -3 ; 0).
Hình chiếu của N trên (Oxy) là : N’(3 ; -1 ; 0).
⇒ Hình chiếu của d trên (Oxy) là đường thẳng d’ đi qua M’ và N’.
⇒ d’ đi qua M'(2;-3;0) và nhận \(\overrightarrow {M'N'} = \left( {1;2;0} \right)\) là 1 vtcp.
\(⇒ d':\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + t\\
y = - 3 + 2t\\
z = 0
\end{array} \right.\)
LG b
b) \((Oyz)\).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \((Oyz)\) có phương trình \(x = 0\).
Lấy \(M_1( 2 ;- 3 ; 1) ∈ d\) và \(M_2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d\).
+) Hình chiếu vuông góc của \(M_1\) trên \((Oyz)\) là \(M_1\)'\((0 ; -3 ; 1)\).
+) Hình chiếu vuông góc của \(M_2\) trên \((Oyz)\) là chính nó.
Đường thẳng \(∆\) qua \({M_1}',{M_2}\) chính là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \((Oyz)\).
Ta có: \(\overrightarrow{M'_{1}M_{2}}(0 ; -4 ; -6)\) // \(\overrightarrow{v} (0 ; 2 ; 3)\).
Phương trình \(M'_1M_2\) có dạng: \(\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=-3+2t&,t \in R \\ z=1+3t& \end{matrix}\right.\).
Loigiaihay.com


- Giải bài 3 trang 90 SGK Hình học 12
- Giải bài 4 trang 90 SGK Hình học 12
- Giải bài 5 trang 90 SGK Hình học 12
- Giải bài 6 trang 90 SGK Hình học 12
- Giải bài 7 trang 91 SGK Hình học 12
>> Xem thêm