Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học

Bài 4. Phép đối xứng tâm

Bài 1 trang 15 SGK Hình học 11

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;3) và đường thẳng d có phương trình x-2y + 3 = 0. Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O.

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A(-1;3)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(x-2y + 3 = 0\). Tìm ảnh của \(A\) và \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi \(A'\) là ảnh của \(A\) qua phép đối xứng tâm \(O\), khi đó \(O\) là trung điểm của \(AA'\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_O} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_O} - {y_A}\end{array} \right.\)

Tìm ảnh của đường thẳng \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O.\)

Cách 1:

Bước 1: Lấy hai điểm \(B, C\) bất kì thuộc đường thẳng \(d.\)

Bước 2: Xác định ảnh \(B'; C'\) của \(B;C\) qua phép đối xứng tâm \(O.\)

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng \(B'C'\); khi đó \(B'C'\) chính là ảnh của đường thẳng \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O.\)

Cách 2:

Bước 1: Ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O\) là đường thẳng song song với \(d,\) suy ra dạng phương trình đường thẳng \(d'.\)

Bước 2: Lấy một điểm \(B\) bất kì thuộc \(d,\) tìm ảnh \(B'\) của điểm \(B\) qua phép đối xứng tâm \(O.\)

Bước 3: Thay tọa độ điểm \(B'\) vào phương trình đường thẳng \(d'\) và suy ra phương trình đường thẳng \(d'.\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(A'\) là ảnh của \(A\) qua phép đối xứng tâm \(O\), khi đó \(O\) là trung điểm của \(AA'\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_O} = \frac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\
{y_O} = \frac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_O} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_O} - {y_A}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{A'}} = 2.0 - \left( { - 1} \right) = 1\\
{y_{A'}} = 2.0 - 3 = - 3
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A'\left( {1; - 3} \right)\)

Để tìm ảnh của đường thẳng \(d\) ta có thể dùng các cách sau:

Cách 1:

+) Lấy 2 điểm bất kì thuộc \(d.\)

(Bằng cách chọn giá trị cho \(x\) (hoặc \(y\)) rồi thay vào phương trình của \(d\), suy ra giá trị của \(y\) (hay \(x)\). )

Chọn \(y=0\) ta có: \(x-2.0+3=0 \Rightarrow x=-3 \Rightarrow B(-3;0) \in d\)

Chọn \(x=-1\) ta có: \(-1-2y+3=0 \Rightarrow y=1 \Rightarrow C (-1;1) \in d\).

Do đó, đường thẳng \(d\) đi qua \(B(-3;0)\) và \(C (-1;1)\).

+) Tìm ảnh qua phép đối xứng tâm \(O\):

\(B' = {D_{O}}(B) = (3;0)\) và \(C' = {D_{O}}(C) = (1;-1)\).

Đường thẳng \(B'C'\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O.\)

\(\overrightarrow {B'C'} = \left( {2;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{B'C'}}} = \left( {1; - 2} \right)\) là VTPT của \(B'C'.\)

+) Phương trình\(B'C'\) đi qua \(B'(3;0)\), có \(VTPT \, \overrightarrow {{n_{B'C'}}} = \left( {1; - 2} \right)\) là:

\(1(x-3)-2(y-0)=0\) hay \(x-2y-3=0.\)

Cách 2:

Đường thẳng \(d\) đi qua \(B(-3;0)\)

Do \(O\) không thuộc \(d\) nên gọi \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O\) thì nó song song với \(d\).

Do đó \(d'\) có phương trình \(x- 2y +C =0\) \(\left( {C \ne 3} \right)\).

Gọi \(B'\) là ảnh của \(B\) qua phép đối xứng tâm \(O\) ta có: \(B' =( 3;0)\)

Vì \(B' \in (d') \Rightarrow 3+C=0 \Rightarrow C = -3\) (tm).

Vậy ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O\) là đường thẳng \(d'\) có phương trình \(x-2y-3=0\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.3 trên 24 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 2 trang 15 SGK Hình học 11
Trong các hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục giác đều, hình nào có tâm đối xứng?
Bài 3 trang 15 SGK Hình học 11
Tìm một hình có vô số tâm đối xứng?
Câu hỏi 6 trang 15 SGK Hình học 11
Giải câu hỏi 6 trang 15 SGK Hình học 11. Tìm một số hình tứ giác có tâm đối xứng...
Câu hỏi 5 trang 15 SGK Hình học 11
Giải câu hỏi 5 trang 15 SGK Hình học 11. Trong các chữ sau, chữ nào là hình có tâm đối xứng?...
Câu hỏi 4 trang 14 SGK Hình học 11
Chọn hệ tọa độ Oxy...
Câu hỏi 3 trang 13 SGK Hình học 11
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(- 4; 3). Tìm ảnh của A qua phép đối xứng tâm O....
Câu hỏi 2 trang 13 SGK Hình học 11
Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo...
Câu hỏi 1 trang 13 SGK Hình học 11
Chứng minh rằng...
Lý thuyết phép đối xứng tâm
Cho điểm O/ Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành M' sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng tâm O.