Bài 3.9 trang 138 SBT hình học 11

Giải bài 3.9 trang 138 sách bài tập hình học 11. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AD và có MN = PQ . Chứng minh rằng AB ⊥ CD...

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(M, N, P, Q\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(AC, BD, AD\) và có \(MN = PQ\). Chứng minh rằng \(AB ⊥ CD\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta cần chứng minh \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0\)

Lời giải chi tiết

Ta cần chứng minh \(\displaystyle \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0\)

Đặt \(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c ,\,\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow d \). Ta có:

\(\displaystyle \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN}\) \(\displaystyle = - {1 \over 2}\overrightarrow {AC} + {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\)

Suy ra \(\displaystyle \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow d - \overrightarrow c } \right)\)

\(\displaystyle \eqalign{
& \overrightarrow {QP} = \overrightarrow {QA} + \overrightarrow {AP} \cr
& = - {1 \over 2}\overrightarrow {A{\rm{D}}} + {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cr
& = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c - \overrightarrow d } \right) \cr} \)

Theo giả thiết ta có:

\(\displaystyle MN = PQ \Leftrightarrow {\overrightarrow {MN} ^2} = {\overrightarrow {QP} ^2}\)

\(\displaystyle \eqalign{
& {\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow d - \overrightarrow c } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c - \overrightarrow d } \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow b .\overrightarrow d - \overrightarrow b .\overrightarrow c = \overrightarrow b .\overrightarrow c - \overrightarrow b .\overrightarrow d \cr
& \Leftrightarrow 2\overrightarrow b .\overrightarrow d - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c = 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow b .\left( {\overrightarrow d - \overrightarrow c } \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {A{\rm{D}}} - \overrightarrow {AC} } \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {C{\rm{D}}} \cr} \)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 3.10 trang 138 SBT hình học 11
Giải bài 3.10 trang 138 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp tam giác S.ABC ...
Bài 3.11 trang 139 SBT hình học 11
Giải bài 3.11 trang 139 sách bài tập hình học 11. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC...
Bài 3.12 trang 139 SBT hình học 11
Giải bài 3.12 trang 139 sách bài tập hình học 11. Chứng minh rằng một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
Bài 3.13 trang 139 SBT hình học 11
Giải bài 3.13 trang 139 sách bài tập hình học 11. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau ( hình hộp như vậy còn được gọi là hình hộp thoi). Chứng minh rằng AC ⊥ B’D’
Bài 3.14 trang 139 SBT hình học 11
Giải bài 3.14 trang 139 sách bài tập hình học 11. Chứng minh tứ giác A’B’CD là hình vuông...
Bài 3.15 trang 139 SBT hình học 11
Giải bài 3.15 trang 139 sách bài tập hình học 11. Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau...
Bài 3.8 trang 138 SBT hình học 11
Giải bài 3.8 trang 138 sách bài tập hình học 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC...