Bài 3.7 trang 130 SBT hình học 11


Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) có \(P\) và \(R\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(A’D’\). Gọi \(P’, Q, Q’,R'\) lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành \(ABCD, CDD’C’\), \(A’B’C’D’, ADD’A’\)

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {PP'}  + \overrightarrow {QQ'}  + \overrightarrow {R{\rm{R}}'}  = \overrightarrow 0 \)

b) Chứng minh hai tam giác \(PQR\) và \(P’Q’R’ \) có trọng tâm trùng nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Biểu diễn các véc tơ trong biểu thức cần chứng minh về các véc tơ cơ sở của hình hộp và tính toán.

b) Sử dụng kết quả câu a, chú ý gọi \(G,G'\) là các trọng tâm rồi chứng minh \(G\) trùng \(G'\) hay \(\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có :\(\overrightarrow {PP'}  = {1 \over 2}\overrightarrow {A{\rm{D}}} ,\overrightarrow {QQ'}  = {1 \over 2}\overrightarrow {DA'} ,\) \(\overrightarrow {R{\rm{R}}'}  = {1 \over 2}\overrightarrow {A'A} \)

Vậy: \(\overrightarrow {PP'}  + \overrightarrow {QQ'}  + \overrightarrow {R{\rm{R}}'}\) \(  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {A{\rm{D}}}  + \overrightarrow {DA'}  + \overrightarrow {A'A} } \right) = \overrightarrow 0 \)

b) Gọi \(G\) và \(G’ \) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(PQR\) và \(P’Q’R’\).

Theo câu a) ta có: \(\overrightarrow {PP'}  + \overrightarrow {QQ'}  + \overrightarrow {R{\rm{R}}'}  = \overrightarrow 0 \)

Do đó:

\(\left( {\overrightarrow {PG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'P'} } \right) \) \(+ \left( {\overrightarrow {QG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'Q'} } \right)  \) \(+ \left( {\overrightarrow {RG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'R'} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \underbrace {\left( {\overrightarrow {PG}  + \overrightarrow {QG}  + \overrightarrow {RG} } \right)}_{\overrightarrow 0 } + 3\overrightarrow {GG'} \) \( + \underbrace {\left( {\overrightarrow {G'P'}  + \overrightarrow {G'Q'}  + \overrightarrow {G'R'} } \right)}_{\overrightarrow 0 } = \overrightarrow 0 \) 

\(3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0 \) ⟹\(G\) trùng với \(G’\)

Vậy hai tam giác \(PQR \) và \(P’Q’R’\) có cùng trọng tâm.

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1: Vectơ trong không gian

  • Bài 3.6 trang 130 SBT hình học 11

    Giải bài 3.6 trang 130 sách bài tập hình học 11. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành...

  • Bài 3.5 trang 130 SBT hình học 11

    Giải bài 3.5 trang 130 sách bài tập hình học 11. Trong không gian cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ chỉ có chung nhau một điểm A...

  • Bài 3.4 trang 130 SBT hình học 11

    Giải bài 3.4 trang 130 sách bài tập hình học 11. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng a...

  • Bài 3.3 trang 129 SBT hình học 11

    Giải bài 3.3 trang 129 sách bài tập hình học 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD lần lượt ta lấy các điểm M, N sao cho...

  • Bài 3.2 trang 129 SBT hình học 11

    Giải bài 3.2 trang 129 sách bài tập hình học 11. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình bình hành là:

  • Bài 3.1 trang 129 SBT hình học 11

    Giải bài 3.1 trang 129 sách bài tập hình học 11. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi O và O’ theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’...

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.