Bài 3.6 trang 130 SBT hình học 11


Giải bài 3.6 trang 130 sách bài tập hình học 11. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành...

Đề bài

Trên mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha  \right)\) cho hình bình hành \(\displaystyle {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\). Về một phía đối với mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha  \right)\) ta dựng hình bình hành \(\displaystyle {A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\). Trên các đoạn \(\displaystyle {A_1}{A_2},{B_1}{B_2},{C_1}{C_2},{D_1}{D_2}\) ta lần lượt lấy các điểm \(A, B, C, D\) sao cho

\(\displaystyle {{A{A_1}} \over {A{A_2}}} = {{B{B_1}} \over {B{B_2}}} = {{C{C_1}} \over {C{C_2}}} = {{D{D_1}} \over {D{D_2}}} = 3\) 

Chứng minh rằng tứ giác \(\displaystyle ABCD\) là hình bình hành.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Lấy điểm \(O\) cố định.

- Điều kiện cần và đủ để \(ABCD\) là hình bình hành là \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {O{\rm{D}}}\)

(theo bài tập 3.2)

Lời giải chi tiết

Lấy điểm \(O\) cố định rồi đặt \(\overrightarrow {O{A_1}}  = \overrightarrow {{a_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{B_1}}  = \overrightarrow {{b_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{C_1}}  = \overrightarrow {{c_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{D_1}}  = \overrightarrow {{d_1}} \). Điều kiện cần và đủ để tứ giác \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là hình bình hành là \(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{c_1}}  = \overrightarrow {{b_1}}  + \overrightarrow {{d_1}} \) ( theo bài tập 3.2)   (1)

Đặt \(\overrightarrow {O{A_2}}  = \overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {O{B_2}}  = \overrightarrow {{b_2}},\) \(\overrightarrow {O{C_2}}  = \overrightarrow {{c_2}} ,\overrightarrow {O{D_2}}  = \overrightarrow {{d_2}} \).

Điều kiện cần và đủ để tứ giác \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) là hình bình hành là \(\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{c_2}}  = \overrightarrow {{b_2}}  + \overrightarrow {{d_2}} \)     (2)

Đặt \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow c ,\,\,\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow d \).

Ta có \({{A{A_1}} \over {A{A_2}}} = 3 \Rightarrow \overrightarrow {A{A_1}}  =  - 3\overrightarrow {A{A_2}} \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \overrightarrow {O{A_1}} - \overrightarrow {OA} = 3\left( {\overrightarrow {O{A_2}} - \overrightarrow {OA} } \right) \cr 
& \Leftrightarrow \overrightarrow {{a_1}} - \overrightarrow a = - 3\left( {\overrightarrow {{a_2}} - \overrightarrow a } \right) \cr 
& \Leftrightarrow \overrightarrow a = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{a_1}} + 3\overrightarrow {{a_2}} } \right) \cr} \)

Tương tự: \(\overrightarrow b  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{b_1}}  + 3\overrightarrow {{b_2}} } \right)\),

\(\overrightarrow c  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{c_1}}  + 3\overrightarrow {{c_2}} } \right),\overrightarrow {\,\,d}  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{d_1}}  + 3\overrightarrow {{d_2}} } \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow c  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{a_1}}  + 3\overrightarrow {{a_2}} } \right) + {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{c_1}}  + 3\overrightarrow {{c_2}} } \right)\)

\(= {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{c_1}} } \right) + {3 \over 4}\left( {\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{c_2}} } \right)\)

Và:

\(\eqalign{
& \overrightarrow b + \overrightarrow d = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{b_1}} + 3\overrightarrow {{b_2}} } \right) + {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{d_1}} + 3\overrightarrow {{d_2}} } \right) \cr 
& = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{b_1}} + \overrightarrow {{d_1}} } \right) + {3 \over 4}\left( {\overrightarrow {{b_2}} + \overrightarrow {{d_2}} } \right) \cr}\)

Từ (1) và (2) ta có \(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{c_1}}  = \overrightarrow {{b_1}}  + \overrightarrow {{d_1}} \) và \(\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{c_2}}  = \overrightarrow {{b_2}}  + \overrightarrow {{d_2}} \) nên suy ra :

\(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c  + \overrightarrow d  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {O{\rm{D}}} \)

⟺ tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

 Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3.5 trên 4 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1: Vectơ trong không gian

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài