Bài 3.4 trang 130 SBT hình học 11


Giải bài 3.4 trang 130 sách bài tập hình học 11. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng a...

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A’B’C’\) có độ dài cạnh bên bằng \(a\). Trên các cạnh bên \(AA’,BB’,CC’\) ta lấy tương ứng các điểm \(M, N, P\) sao cho \(AM + BN + CP = a\)

Chứng minh rằng mặt phẳng \((MNP)\) luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi \(G'\) là trọng tâm tam giác \(MNP\) và chúng minh \(G'\) cố định.

Lời giải chi tiết

Gọi G và  G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác MNP . Ta có:

\(\displaystyle \eqalign{
& \,\,\,\,\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MG'} \cr 
& + \,\,\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {NG'} \cr 
& \,\,\,\,\,\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CP} + \overrightarrow {PG'} \cr} \)

Cộng từng vế với vế ta có:

\(\displaystyle 3\overrightarrow {GG'}  = \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) \) \(\displaystyle + \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CP} } \right) \) \(\displaystyle + \left( {\overrightarrow {MG'}  + \overrightarrow {NG'}  + \overrightarrow {PG'} } \right)\)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\displaystyle \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \) và G’ là trọng tâm của tam giác MNP nên \(\displaystyle \overrightarrow {MG'}  + \overrightarrow {NG'}  + \overrightarrow {PG'}  = \overrightarrow 0 \).

Do đó: \(\displaystyle 3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CP} \)

Hay \(\displaystyle \overrightarrow {GG'}  = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CP} } \right) \) \(\displaystyle = {1 \over 3}\overrightarrow {AA'} \)

Vì điểm G cố định và \(\displaystyle {1 \over 3}\overrightarrow {AA'} \) là vectơ không đổi nên G’ là điểm cố định. Vậy mặt phẳng  (MNP) luôn luôn đi qua điểm G’ cố định.

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1: Vectơ trong không gian

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài