Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuôn..

Câu 87 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 87 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = b; cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AS = 2a. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AS, đặt \(AM = x\left( {0 \le x \le 2{\rm{a}}} \right)\).

a) Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MBC) là hình gì? Tính diện tích thiết diện.

b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(MBC) ứng với mỗi vị trí của M.

Lời giải chi tiết

 

a) Vì \(BC//SA{\rm{D}},M \in mp\left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap mp\left( {MBC} \right)\)

nên \(mp\left( {MBC} \right) \cap \left( {SA{\rm{D}}} \right) = MN\)

mà \(MN//BC\left( {N \in S{\rm{D}}} \right)\).

Như vậy BMNC là hình thang.

Mặt khác \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot BM\).

Vậy BMNC là hình thang vuông.

Do đó thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MBC) nói chung là hình thang vuông.

Khi x = 0 thì thiết diện là hình chữ nhật ABCD, và khi x = 2a thì thiết diện là tam giác SBC.

Ta có

\(\eqalign{  & {S_{BMNC}} = {1 \over 2}\left( {BC + MN} \right).BM  \cr  & B{M^2} = {a^2} + {x^2} \cr} \)

hay \(BM = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \)

\({{MN} \over {A{\rm{D}}}} = {{SM} \over {SA}} = {{2{\rm{a}} - x} \over {2{\rm{a}}}}\), từ đó \(MN = b.{{2{\rm{a}} - x} \over {2{\rm{a}}}}\).

Từ đó

\(\eqalign{  & {S_{BMNC}} = {1 \over 2}\left( {b + b.{{2{\rm{a}} - x} \over {2{\rm{a}}}}} \right).\sqrt {{a^2} + {x^2}}   \cr  &  = {b \over {4{\rm{a}}}}\left( {4{\rm{a}} - x} \right)\sqrt {{a^2} + {x^2}}  \cr} \)

b) Do \(\left( {BMNC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\) nên khi kẻ SH vuông góc với đường thẳng \(BM\left( {H \in BM} \right)\) thì \(SH \bot \left( {BMNC} \right)\).

Khoảng cách từ S đến mp(BCM) là SH. Dễ thấy

\(SH.BM = 2{{\rm{S}}_{SBM}} = 2.{1 \over 2}a\left( {2{\rm{a}} - x} \right)\)

Vậy \(SH = {{a\left( {2{\rm{a}} - x} \right)} \over {\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store