Câu 86 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng a, cạnh bên \(a\sqrt 6 \). Xét đường thẳng ∆ đi qua điểm A và song song với BD. Gọi (P) là mặt phẳng qua ∆ và điểm C’.

a) Thiết diện của hình lăng trụ đã cho khi cắt bởi mp(P) là hình gì? Tính diện tích thiết diện.

b) Tính góc giữa mp(P) và mp(ABCD).

Lời giải chi tiết

 

a) Gọi \(I = C{\rm{D}} \cap \Delta ,J = BC \cap \Delta \),

\({B_1} = C'J \cap BB',{D_1} = C'I \cap {\rm{DD}}'\)

thì thiết diện thu được \(A{B_1}C'{D_1}\).

Dễ thấy \(A{B_1}C'{D_1}\) là hình bình hành và B1, D1 lần lượt là trung điểm của BB’, DD’.

Từ đó \(A{{\rm{D}}_1} = {D_1}C'\)

Do đó thiết diện \(A{B_1}C'{D_1}\) là hình thoi.

\(\eqalign{  & {S_{A{B_1}C'{D_1}}} = {1 \over 2}{B_1}{D_1},AC'  \cr  & {B_1}{D_1} = B{\rm{D}} = a\sqrt 2   \cr  & AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2} = 2{{\rm{a}}^2} + 6{{\rm{a}}^2} = 8{{\rm{a}}^2}  \cr  &  \Rightarrow AC' = 2{\rm{a}}\sqrt 2  \cr} \)

Vậy \({S_{A{B_1}C'{D_1}}} = {1 \over 2}a\sqrt 2 .2{\rm{a}}\sqrt 2  = 2{{\rm{a}}^2}.\)

b) Ta có \(AC \bot B{\rm{D}}\) mà ∆ // BD nên \(AC \bot \Delta \).

Mặt khác \(C'C \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\) nên \(AC' \bot \Delta \) (định lí ba đường vuông góc).

Vậy \(\widehat {C'AC}\) là góc giữa mp(P) và mp(ABCD).

Ta có \(\tan \widehat {C'AC} = {{CC'} \over {AC}} = {{a\sqrt 6 } \over {a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 \), từ đó \(\widehat {C'AC} = {60^0}\)

Chú ý. Cũng có thể tính góc giữa mp(P) và mp(ABCD) bởi công thức

\({S_{ABC{\rm{D}}}} = {S_{A{B_1}C'{D_1}}} = 2{{\rm{a}}^2}\)

mà \({S_{ABC{\rm{D}}}} = {a^2},{S_{A{B_1}C'{D_1}}} = 2{{\rm{a}}^2}\)

tức là \(\cos \varphi  = {1 \over 2}\,\,hay\,\,\varphi  = {60^0}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.