Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuôn..

Câu 86 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 86 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng a, cạnh bên \(a\sqrt 6 \). Xét đường thẳng ∆ đi qua điểm A và song song với BD. Gọi (P) là mặt phẳng qua ∆ và điểm C’.

a) Thiết diện của hình lăng trụ đã cho khi cắt bởi mp(P) là hình gì? Tính diện tích thiết diện.

b) Tính góc giữa mp(P) và mp(ABCD).

Lời giải chi tiết

 

a) Gọi \(I = C{\rm{D}} \cap \Delta ,J = BC \cap \Delta \),

\({B_1} = C'J \cap BB',{D_1} = C'I \cap {\rm{DD}}'\)

thì thiết diện thu được \(A{B_1}C'{D_1}\).

Dễ thấy \(A{B_1}C'{D_1}\) là hình bình hành và B1, D1 lần lượt là trung điểm của BB’, DD’.

Từ đó \(A{{\rm{D}}_1} = {D_1}C'\)

Do đó thiết diện \(A{B_1}C'{D_1}\) là hình thoi.

\(\eqalign{  & {S_{A{B_1}C'{D_1}}} = {1 \over 2}{B_1}{D_1},AC'  \cr  & {B_1}{D_1} = B{\rm{D}} = a\sqrt 2   \cr  & AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2} = 2{{\rm{a}}^2} + 6{{\rm{a}}^2} = 8{{\rm{a}}^2}  \cr  &  \Rightarrow AC' = 2{\rm{a}}\sqrt 2  \cr} \)

Vậy \({S_{A{B_1}C'{D_1}}} = {1 \over 2}a\sqrt 2 .2{\rm{a}}\sqrt 2  = 2{{\rm{a}}^2}.\)

b) Ta có \(AC \bot B{\rm{D}}\) mà ∆ // BD nên \(AC \bot \Delta \).

Mặt khác \(C'C \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\) nên \(AC' \bot \Delta \) (định lí ba đường vuông góc).

Vậy \(\widehat {C'AC}\) là góc giữa mp(P) và mp(ABCD).

Ta có \(\tan \widehat {C'AC} = {{CC'} \over {AC}} = {{a\sqrt 6 } \over {a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 \), từ đó \(\widehat {C'AC} = {60^0}\)

Chú ý. Cũng có thể tính góc giữa mp(P) và mp(ABCD) bởi công thức

\({S_{ABC{\rm{D}}}} = {S_{A{B_1}C'{D_1}}} = 2{{\rm{a}}^2}\)

mà \({S_{ABC{\rm{D}}}} = {a^2},{S_{A{B_1}C'{D_1}}} = 2{{\rm{a}}^2}\)

tức là \(\cos \varphi  = {1 \over 2}\,\,hay\,\,\varphi  = {60^0}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store