Câu 74 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi ${A_1},{B_1},{C_1},{D_1}$ là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC, CD, DA sao cho $\overrightarrow {{A_1}A}  = k\overrightarrow {{A_1}B} ,\overrightarrow {{B_1}B}  = k\overrightarrow {{B_1}C}$ , $\overrightarrow {{C_1}C}  = k\overrightarrow {{C_1}D} ,\overrightarrow {{D_1}D}  = k\overrightarrow {{D_1}A}$. Với giá trị bào của k thì bốn điểm ${A_1},{B_1},{C_1},{D_1}$ cùng thuộc một mặt phẳng?

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Cách 1. 

Đặt $\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow c$ thì $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ không đồng phẳng.

Các điểm ${A_1},{B_1},{C_1},{D_1}$  cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi có các số m, n để

$\overrightarrow {{D_1}{B_1}}  = m\overrightarrow {{D_1}{A_1}}  + n\overrightarrow {{D_1}{C_1}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Từ hệ thức $\overrightarrow {{B_1}B}  = k\overrightarrow {{B_1}C}$, ta có

$\overrightarrow {{D_1}{B_1}}  = {{\overrightarrow {{D_1}B}  - k\overrightarrow {{D_1}C} } \over {1 - k}}$

hay

$\eqalign{  & \overrightarrow {{D_1}{B_1}}  = {{\overrightarrow {{D_1}D}  + \overrightarrow {DB}  - k\left( {\overrightarrow {{D_1}D}  + \overrightarrow {DC} } \right)} \over {1 - k}}  \cr  &  = \overrightarrow {{D_1}D}  + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow b  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow c  \cr}$

Mặt khác

 $\eqalign{  & \overrightarrow {{D_1}D}  = k\overrightarrow {{D_1}A}  = k\left( {\overrightarrow {{D_1}D}  + \overrightarrow {DA} } \right)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {{D_1}D}  = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a  \cr}$

Vậy $\overrightarrow {{D_1}{B_1}}  = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a  + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow b  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow c$.

Tương tự như trên, ta có

$\eqalign{  & \overrightarrow {{D_1}{A_1}}  = {{\overrightarrow {{D_1}A}  - k\overrightarrow {{D_1}B} } \over {1 - k}}  \cr  &  = {{\overrightarrow {{D_1}D}  + \overrightarrow {DA}  - k\left( {\overrightarrow {{D_1}D}  + \overrightarrow {DB} } \right)} \over {1 - k}}  \cr  &  = \overrightarrow {{D_1}D}  + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow a  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b  \cr}$

hay

$\eqalign{  & \overrightarrow {{D_1}{A_1}}  = {{k + 1} \over {1 - k}}\overrightarrow a  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)  \cr  & \overrightarrow {{D_1}{C_1}}  = {{\overrightarrow {{D_1}C}  - k\overrightarrow {{D_1}D} } \over {1 - k}}  \cr  &  = {{\overrightarrow {{D_1}D}  + \overrightarrow {DC}  - k\overrightarrow {{D_1}D} } \over {1 - k}}  \cr  &  = \overrightarrow {{D_1}D}  + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c  \cr}$

do đó $\overrightarrow {{D_1}{C_1}}  = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a  + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c .\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$

Từ (1), (2), (3), (4) ta có các điểm ${A_1},{B_1},{C_1},{D_1}$ cùng thuộc mặt phẳng khi và chỉ khi

$k\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - k\overrightarrow c$

$= \left( {mk + nk + m} \right)\overrightarrow a  - mk\overrightarrow b  + n\overrightarrow c$

Do $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ không đồng phẳng nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi có các số m, n để

$\left\{ \matrix{  k = mk + nk + m \hfill \cr  1 =  - mk \hfill \cr   - k = n \hfill \cr}  \right.$

Điều đó tương đương với $k =  - 1 - {k^2} - {1 \over k}$ hay ${k^3} + {k^2} + k + 1 = 0$ hay k = -1.

Vậy với k = -1 thì các điểm ${A_1},{B_1},{C_1},{D_1}$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Cách 2.

Đặt $\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow c$. Tìm k để các điểm ${A_1},{B_1},{C_1},{D_1}$ cùng thuộc một mặt phẳng tương đương với việc tìm k để có biểu diễn

$\overrightarrow {D{A_1}}  = x\overrightarrow {D{B_1}}  + y\overrightarrow {D{C_1}}  + z\overrightarrow {{\rm{D}}{{\rm{D}}_1}}$ 

với x + y + z = 1               (a)

Từ hệ thức $\overrightarrow {{A_1}A}  = k\overrightarrow {{A_1}B}$ ta có

$\eqalign{  & \overrightarrow {D{A_1}}  = {{\overrightarrow {DA}  - k\overrightarrow {DB} } \over {1 - k}}  \cr  &  = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow a  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr}$

Tương tự như trên, ta cũng có

$\overrightarrow {D{B_1}}  = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow b  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow c \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Mặt khác từ $\overrightarrow {{C_1}C}  = k\overrightarrow {{C_1}D}$ ta có

$\eqalign{  & \overrightarrow {{C_1}D}  + \overrightarrow {DC}  = k\overrightarrow {{C_1}D}   \cr  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {D{C_1}}  = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \cr}$

Tương tự từ $\overrightarrow {{D_1}D}  = k\overrightarrow {{D_1}A}$, ta cũng có

$\overrightarrow {{D_1}D}  = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$

Từ (1), (2), (3), (4), ta suy ra

$\overrightarrow {D{A_1}}  =  - {1 \over k}\overrightarrow {{\rm{D}}{{\rm{D}}_1}}  - k\overrightarrow {D{B_1}}  - {k^2}\overrightarrow {D{C_1}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( b \right)$

Từ (a) và (b) ta có các điểm ${A_1},{B_1},{C_1},{D_1}$ cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi:

$\eqalign{  &  - {1 \over k} - k - {k^2} = 1  \cr  &  \Leftrightarrow {k^3} + {k^2} + k + 1 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow k =  - 1 \cr}$

Vậy với k = -1 thì các điểm ${A_1},{B_1},{C_1},{D_1}$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Loigiaihay.com