Câu 73 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 73 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ diện ABCD; P là điểm thuộc đường thẳng AD sao cho \(\overrightarrow {PA}  = k\overrightarrow {P{\rm{D}}} \), k là số cho trước (k ≠ 1). Xác định điểm Q thuộc đường thẳng BC sao cho PQ và MN cắt nhau. Khi đó, hãy tính tỉ số \({{QB} \over {QC}}.\)

Lời giải chi tiết

  

MN cắt PQ nên các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng. Điều này tương đương với có các số x, y sao cho \(\overrightarrow {MP}  = x\overrightarrow {MN}  + y\overrightarrow {MQ} \).

Đặt \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow c .\)

Khi đó

\(\eqalign{  & \overrightarrow {MN}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {A{\rm{D}}}  + \overrightarrow {BC} } \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( { - \overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)  \cr  & \overrightarrow {MP}  = {{\overrightarrow {MA}  - k\overrightarrow {M{\rm{D}}} } \over {1 - k}}  \cr  &  = {1 \over {1 - k}}\left[ {{1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) - {k \over 2}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b  - 2\overrightarrow a } \right)} \right]  \cr  &  = {1 \over {1 - k}}\left[ {{1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) + {k \over 2}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)} \right]  \cr  &  = {1 \over {2\left( {1 - k} \right)}}\left[ {\left( {1 + k} \right)\overrightarrow a  + \left( {k - 1} \right)\overrightarrow b } \right]  \cr  &  = {{k + 1} \over {2\left( {1 - k} \right)}}\overrightarrow a  - {1 \over 2}\overrightarrow {b.}   \cr  & \overrightarrow {MQ}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BQ}   \cr  &  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow a } \right) + t\left( { - \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)  \cr  &  =  - {1 \over 2}\overrightarrow a  + \left( {{1 \over 2} - t} \right)\overrightarrow b  + t\overrightarrow c  \cr} \)

Từ đó ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {MP}  = x\overrightarrow {MN}  + y\overrightarrow {MQ}   \cr  &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {{k + 1} \over {2\left( {1 - k} \right)}} =  - {1 \over 2}x - {1 \over 2}y \hfill \cr   - {1 \over 2} =  - {1 \over 2}x + y\left( {{1 \over 2} - t} \right) \hfill \cr  0 = {1 \over 2}x + yt \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow y =  - 1,x = {{k + 1} \over {k - 1}} + 1 = {{2k} \over {k - 1}}  \cr  & t = {k \over {k - 1}} \cr} \)

Như vậy

\(\eqalign{  & \overrightarrow {BQ}  = {k \over {k - 1}}\overrightarrow {BC}  = {k \over {k - 1}}\left( {\overrightarrow {BQ}  + \overrightarrow {QC} } \right)  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {1 - {k \over {k - 1}}} \right)\overrightarrow {BQ}  = {k \over {k - 1}}\overrightarrow {QC}   \cr  &  \Leftrightarrow  - \overrightarrow {BQ}  = k.\overrightarrow {QC}   \cr  &  \Leftrightarrow {{QB} \over {QC}} = \left| k \right| \cr} \)

loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài