Câu 82 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 82 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AD’, điểm N thuộc đoạn thẳng BD sao cho

\(AM = DN = x\left( {0 < x < a\sqrt 2 } \right)\)

a) Tìm x để đoạn thẳng MN có độ dài ngắn nhất.

b) Khi MN ngắn nhất, hãy chứng tỏ MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB, đồng thời MN // A’C.

Lời giải chi tiết

 

a) Kẻ \(MH \bot A{\rm{D}}\) thì \(MH \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\) và \(MH = {{x\sqrt 2 } \over 2} = AH\).

Kẻ \(NK \bot A{\rm{D}}\) thì \(NK = {{x\sqrt 2 } \over 2} = DK\).

Vậy \(KH = \left| {a - x\sqrt 2 } \right|\).

Ta có:

\(\eqalign{  & M{N^2} = M{H^2} + H{K^2} + K{N^2}  \cr  &  = 3{{\rm{x}}^2} - 2a\sqrt 2 x + ah2 \cr} \)

Từ đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi \(x = {{a\sqrt 2 } \over 3}\).

b) Khi \(x = {{a\sqrt 2 } \over 3}\) thì

\(\eqalign{  & M{N^2} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 9} = {{{a^2}} \over 3};  \cr  & A{M^2} = {{2{{\rm{a}}^2}} \over 9};  \cr  & A{N^2} = A{{\rm{D}}^2} + D{N^2} - 2{\rm{AD}}{\rm{.DNcos4}}{{\rm{5}}^0} = {{5{a^2}} \over 9} \cr} \)

Từ đó \(A{N^2} = A{M^2} + M{N^2}\) hay \(MN \bot A{\rm{D}}'\).

Chứng minh tương tự như trên, ta cũng có \(MN \bot B{\rm{D}}\).

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD.

Khi \(DN = {{a\sqrt 2 } \over 3}\) thì NB = 2ND.

Gọi I là trung điểm của AD thì ta có I, N, C thẳng hàng

 

Tương tự ta cũng có các điểm I, M, A’ thẳng hàng.

Xét tam giác A’IC ta có:

\({{IN} \over {NC}} = {{IM} \over {MA'}} = {1 \over 2}\)

Vậy MN // A’C.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài