Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuôn..

Câu 83 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 83 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I là điểm thuộc AB; đặt \(AI = x\left( {0 < x < a} \right)\).

a) Khi góc giữa hai đường thẳng AC’ và DI bằng 60°, hãy xác định vj trí của điểm I.

b) Tính theo a và x diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B’DI). Tìm x để diện tích ấy là nhỏ nhấ.

c) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng (B’DI) theo a và x.

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

Lời giải chi tiết

 

a) Cách 1.

Đặt α là góc giữa DI và AC’ thì

\(\eqalign{  & \cos \alpha  = {{\left| {\overrightarrow {DI} .\overrightarrow {AC'} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {DI} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}}  \cr  &  = {{\left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AI} } \right)\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'} } \right)} \over {\left| {\overrightarrow {DI} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}}  \cr  &  = {{\left| { - {a^2} + xa} \right|} \over {\sqrt {{a^2} + {x^2}.a\sqrt 3 } }} = {{\left| { - a + x} \right|} \over {\sqrt 3 .\sqrt {{a^2} + {x^2}} }} \cr} \)

Khi ấy \(\alpha  = {60^0}\) khi và chỉ khi

\(\eqalign{  & {{\left| { - a + x} \right|} \over {\sqrt 3 .\sqrt {{a^2} + {x^2}} }} = {1 \over 2}  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} - 8ax + {a^2} = 0  \cr  &  \Leftrightarrow x = a\left( {4 - \sqrt {15} } \right)\,\,\,\left( {vì\,\,0 < x < a} \right) \cr} \)

Hệ thức trên xác định vị trí điểm I.

Cách 2.

Kẻ \(II'//AA'\left( {I' \in A'B'} \right),C'J//D'I'\) (I’ thuộc đường thẳng A’B’) thì \(\widehat {AC'J}\) hoặc \({180^0} - \widehat {AC'J}\) là góc giữa hai đường thẳng AC’ và DI với B’J = x.

Do giả thiết góc giữa hai đường thẳng AC’ và DI bằng 60° nên \(\widehat {AC'J} = {60^0}\) hoặc 120°.

Ta có :

\(\eqalign{  & A{J^2} = AA{'^2} + A'{J^2} = {a^2} + {\left( {a + x} \right)^2}  \cr  & AC{'^2} = 3{a^2},C'{J^2} = {a^2} + {x^2} \cr} \)

- Trường hơp \(\widehat {AC'J} = {60^0}\), ta có

\(A{J^2} = AC{'^2} + C'{J^2} - 2AC'.C'J.{1 \over 2}\)

hay

\(\eqalign{& {a^2} + {\left( {a + x} \right)^2} \cr & = 3{a^2} + {a^2} + {x^2} - 2a\sqrt 3 .\sqrt {{a^2} + {x^2}.{1 \over 2}} \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 8ax + {a^2} = 0 \cr & \Rightarrow x = \left( {4 - \sqrt {15} } \right)a\,\,\left( {vì\,0 < x < a} \right) \cr}\)

Trường hợp \(\widehat {AC'J} = {120^0}\), ta có

\(\eqalign{& {a^2} + {\left( {a + x} \right)^2} \cr & = 3{{\rm{a}}^2} + {a^2} + {x^2} + 2{\rm{a}}\sqrt 3 .\sqrt {{a^2} + {x^2}} .{1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 2ax = 2{a^2} + a\sqrt 3 .\sqrt {{a^2} + {x^2}} \cr & \Leftrightarrow 2\left( {x - a} \right) = \sqrt 3 .\sqrt {{a^2} + {x^2}} \cr} \)

Điều này không xảy ra vì 0 < x < a.

Vậy khi \(x = \left( {4 - \sqrt {15} } \right)a\) thì góc giữa DI và AC’ bằng 60°.

b) Gọi

\(\eqalign{  & E = DI \cap CB  \cr  & F = B'E \cap CC'  \cr  & K = DF \cap D'C' \cr} \)

thì thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mp(B’DI) là tứ giác DIB’K.

Dễ thấy đó là hình bình hành

\({S_{DIB'K}} = 2{{\rm{S}}_{B'I{\rm{D}}}}\)

\(= 2.{1 \over 2}\sqrt {{{\overrightarrow {IB'} }^2}.{{\overrightarrow {I{\rm{D}}} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {IB'} .\overrightarrow {I{\rm{D}}} } \right)}^2}} \)

Mặt khác \({\overrightarrow {I{\rm{D}}} ^2}.{\overrightarrow {IB'} ^2} = \left( {{a^2} + {x^2}} \right)\left[ {{a^2} + {{\left( {a - x} \right)}^2}} \right]\)

và \(\eqalign{  & {\left( {\overrightarrow {I{\rm{D}}} .\overrightarrow {IB'} } \right)^2} = {\left[ {\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {A{\rm{D}}} } \right)\left( {\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {BB'} } \right)} \right]^2}  \cr  &  = {\left( {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} } \right)^2} = {\left[ { - x{{\left( {a - x} \right)}^2}} \right]^2} = {x^2}{\left( {a - x} \right)^2} \cr} \)

Từ đó

\(\eqalign{  & {S_{DIB'K}} = \sqrt {{a^4} + {a^2}{x^2} + {a^2}{{\left( {a - x} \right)}^2}}   \cr  &  = a\sqrt {{a^2} + {x^2} + {{\left( {a - x} \right)}^2}}  \cr} \)

Dễ thấy \({S_{DIB'K}}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = {a \over 2}\) .

c) Gọi khoảng cách từ C đến mp(B’ID), do tứ diện CDEF có CD, CE , CF đôi một vuông góc nên

\({1 \over {{h^2}}} = {1 \over {C{{\rm{D}}^2}}} + {1 \over {C{E^2}}} + {1 \over {C{F^2}}}\).

Mặt khác do AD // BE nên \({a \over {BE}} = {x \over {a - x}}\).

từ đó \(BE = {{a\left( {a - x} \right)} \over x}\)

và \(CE = a + {{a\left( {a - x} \right)} \over x} = {{{a^2}} \over x}\).

Tương tự như trên, ta có \(C'F = {{ax} \over {a - x}}\) từ đó

\(CF = a + {{ax} \over {a - x}} = {{{a^2}} \over {a - x}}\).

Như vậy \({1 \over {{h^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {{{x^2}} \over {{a^4}}} + {{{{\left( {a - x} \right)}^2}} \over {{a^4}}}\)

do vậy \(h = {{{a^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {x^2} + {{\left( {a - x} \right)}^2}} }}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua