Câu 83 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 83 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I là điểm thuộc AB; đặt AI=x(0<x<a)AI=x(0<x<a).

a) Khi góc giữa hai đường thẳng AC’ và DI bằng 60°, hãy xác định vj trí của điểm I.

b) Tính theo a và x diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B’DI). Tìm x để diện tích ấy là nhỏ nhấ.

c) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng (B’DI) theo a và x.

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2026

Lời giải chi tiết

 

a) Cách 1.

Đặt α là góc giữa DI và AC’ thì

cosα=|DI.AC||DI|.|AC|=(DA+AI)(AD+AB+AA)|DI|.|AC|=|a2+xa|a2+x2.a3=|a+x|3.a2+x2

Khi ấy α=600 khi và chỉ khi

|a+x|3.a2+x2=12x28ax+a2=0x=a(415)(vì0<x<a)

Hệ thức trên xác định vị trí điểm I.

Cách 2.

Kẻ II//AA(IAB),CJ//DI (I’ thuộc đường thẳng A’B’) thì ^ACJ hoặc 1800^ACJ là góc giữa hai đường thẳng AC’ và DI với B’J = x.

Do giả thiết góc giữa hai đường thẳng AC’ và DI bằng 60° nên ^ACJ=600 hoặc 120°.

Ta có :

AJ2=AA2+AJ2=a2+(a+x)2AC2=3a2,CJ2=a2+x2

- Trường hơp ^ACJ=600, ta có

AJ2=AC2+CJ22AC.CJ.12

hay

a2+(a+x)2=3a2+a2+x22a3.a2+x2.12x28ax+a2=0x=(415)a(vì0<x<a)

Trường hợp ^ACJ=1200, ta có

a2+(a+x)2=3a2+a2+x2+2a3.a2+x2.122ax=2a2+a3.a2+x22(xa)=3.a2+x2

Điều này không xảy ra vì 0 < x < a.

Vậy khi x=(415)a thì góc giữa DI và AC’ bằng 60°.

b) Gọi

E=DICBF=BECCK=DFDC

thì thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mp(B’DI) là tứ giác DIB’K.

Dễ thấy đó là hình bình hành

SDIBK=2SBID

=2.12IB2.ID2(IB.ID)2

Mặt khác ID2.IB2=(a2+x2)[a2+(ax)2]

(ID.IB)2=[(IA+AD)(IB+BB)]2=(IA.IB)2=[x(ax)2]2=x2(ax)2

Từ đó

SDIBK=a4+a2x2+a2(ax)2=aa2+x2+(ax)2

Dễ thấy SDIBK đạt giá trị nhỏ nhất khi x=a2 .

c) Gọi khoảng cách từ C đến mp(B’ID), do tứ diện CDEF có CD, CE , CF đôi một vuông góc nên

1h2=1CD2+1CE2+1CF2.

Mặt khác do AD // BE nên aBE=xax.

từ đó BE=a(ax)x

CE=a+a(ax)x=a2x.

Tương tự như trên, ta có CF=axax từ đó

CF=a+axax=a2ax.

Như vậy 1h2=1a2+x2a4+(ax)2a4

do vậy h=a2a2+x2+(ax)2

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.