Câu 78 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 78 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho tam giác đề ABC có chiều cao AH = 5a. Điểm O thuộc đoạn thẳng AH sao cho AO = a. Điểm S trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O và SO = 2a.

a) Chứng mịn AS và CS vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

b) Gọi I là trung điểm của OH; (α) là mặt phẳng đi qua điểm I và vuông góc với AH. Thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi (α) là hình gì? Tính diện tích thiết diện.

Lời giải chi tiết

a) Dễ thấy

\(\eqalign{ & BC = {{10{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }} \cr & S{A^2} = S{O^2} + A{O^2} \cr & = 4{{\rm{a}}^2} + {a^2} = 5{{\rm{a}}^2} \cr & S{C^2} = S{O^2} + A{O^2} \cr & = 4{{\rm{a}}^2} + 16{{\rm{a}}^2} + {{25{{\rm{a}}^2}} \over 3} \cr & = {{85{a^2}} \over 3} \cr & A{C^2} = {{100{{\rm{a}}^2}} \over 3} \cr} \)

Ta có \(S{A^2} + S{C^2} = A{C^2}\)

Vậy \(SA \bot SC\).

+ Kẻ AD song song và bằng BC (hai tia AD, BC cùng chiều) thì góc giữa AB và SC chính là góc giữa CD và SC, đó là \(\widehat {SC{\rm{D}}}\) hoặc \({180^0} - \widehat {SC{\rm{D}}}\).

Dễ thấy \(SA \bot BC\), do AD // BC nên \(SA \bot A{\rm{D}}\), tức là tam giác SAD vuông.

Do đó \(S{{\rm{D}}^2} = S{A^2} + A{{\rm{D}}^2} = 5{{\rm{a}}^2} + {{100{{\rm{a}}^2}} \over 3} = {{115{{\rm{a}}^2}} \over 3}\),

mặt khác \(S{{\rm{D}}^2} = S{C^2} + D{C^2} - 2{\rm{S}}C.DC\cos \widehat {SCD}\)

nên ta có

\(\eqalign{& {{115{{\rm{a}}^2}} \over 3} \cr & = {{85{{\rm{a}}^2}} \over 3} + {{100{{\rm{a}}^2}} \over 3} - 2.{{a\sqrt {85} } \over {\sqrt 3 }}.{{10{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }}\cos \widehat {SCD} \cr & \Rightarrow \cos \widehat {SCD} = {7 \over {2\sqrt {85} }} \cr} \)

Vậy góc giữa AB và SC là α mà

\(\cos \alpha = {7 \over {2\sqrt {85} }}\).

Do \(\left( \alpha \right) \bot AH,SO \bot AH\) và \(BC \bot AH\) nên SO và BC cùng song song với (α). Khi đó \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\), MN qua I và MN // BC

\(\eqalign{ & \left( \alpha \right) \cap \left( {SOH} \right) = IJ,IJ//SO \cr & \left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = PQ \cr} \)

PQ qua J và PQ // BC.

Dễ thấy MNPQ là hình thang cân với chiều cao JI.

Ta có :

\(\eqalign{ & {\rm{IJ}} = {1 \over 2}SO = a \cr & PQ = {1 \over 2}BC = {{5{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }} \cr & {{MN} \over {BC}} = {{3{\rm{a}}} \over {5{\rm{a}}}} \Rightarrow MN = {{10{\rm{a}}.3} \over {\sqrt 3 .5}} = 2{\rm{a}}\sqrt 3 . \cr} \)

Suy ra

\(\eqalign{ & {S_{MNPQ}} = {1 \over 2}\left( {MN + PQ} \right).{\rm{IJ}} \cr & = {1 \over 2}\left( {2{\rm{a}}\sqrt 3 + {{5{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }}} \right).a = {{11{{\rm{a}}^2}} \over {2\sqrt 3 }} \cr} \)

Loigiaihay.com