Câu 84 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 84 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = b. Gọi S là điểm sao cho SA vuông góc với mp(ABC) và SA = h (h > 0). Trên cạnh CD lấy điểm M bất kì, đặt CM = x (0 ≤ x ≤a).

a) Tính diện tích tam giác SBM theo a, b, h, x.

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBM) khi M là trung điểm của CD.

c) Gọi hình chiếu của điểm A và điểm D trên mp(SBM) lần lượt là A₁ và D₁. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên CD thì các điểm A₁ và D₁ thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của mỗi đường tròn đó.

Lời giải chi tiết

a) Kẻ \(AK \bot MB\), do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SK \bot MB\) (định lí ba đường vuông góc).

Vậy \({S_{SBM}} = {1 \over 2}BM.SK\)

Mặt khác \(BM = \sqrt {{b^2} + {x^2}} \) và \(AK.MB = 2{{\rm{S}}_{AMB}} = ab\)

tức là \(AK = {{ab} \over {\sqrt {{b^2} + {x^2}} }}\)

Từ đó

\(\eqalign{ & S{K^2} = S{A^2} + A{K^2} = {h^2} + {{{a^2}{b^2}} \over {{b^2} + {x^2}}} \cr & = {{{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} \over {{b^2} + {x^2}}} \cr} \)

Vậy \({S_{SBM}} = {1 \over 2}\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} \)

b) Với A₁ là hình chiếu A trên SK, dễ thấy \(A{A_1} \bot \left( {SBM} \right)\).

Từ đó \(A{A_1}.SK = SA.AK\)

suy ra \(A{A_1} = {{SA.AK} \over {SK}}\)

hay

\(\eqalign{ & A{A_1} = {{h.{{ab} \over {\sqrt {{b^2} + {x^2}} }}} \over {{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} } \over {\sqrt {{b^2} + {x^2}} }}}} \cr & = {{abh} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} }} \cr} \)

Khi trung điểm DC thì \(x = {a \over 2}\) nên

\(A{A_1} = {{2abh} \over {\sqrt {4{a^2}{b^2} + 4{b^2}{h^2} + {a^2}{h^2}} }}\)

c) Vì \(A{A_1} \bot \left( {SMB} \right)\) nên \(A{A_1} \bot SB\) mặt khác \(A{\rm{D}} \bot SB\), từ đó \(mp\left( {A{\rm{D}}{A_1}} \right) \bot SB.\)

Gọi giao điểm của SB với mp(ADA₁) là I thì \(AI \bot SB\), từ đó I là điểm cố định và mp(ADA₁) cố định.

Như vậy, điểm A₁ nhìn AI cố định dưới góc vuông và A₁ thuộc mặt phẳng cố định (ADI), tức là A₁ thuộc đường tròn đường kính AI trong mp(ADI).

Bán kính của đường tròn đó bằng \({{AI} \over 2}\) mà

\(AI.SB = SA.AB\)

hay \(AI = {{ah} \over {\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}\)

Vậy bán kính của đường tròn trên bằng \({{ah} \over {2\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}\).

Vì D₁ là hình chiếu của D trên mp(SBM) nên DD₁ // AA₁ và dễ thất D₁ thuộc đường thẳng A₁I.

Như vậy, D₁ thuộc mp(ADI) và D₁ nhìn DI dưới góc vuông, tức là điểm D₁ thuộc đường tròn đường kính DI trong mp(ADI). Bán kính của đường tròn đó \({{DI} \over 2}\).

Mặt khác

\(\eqalign{ & D{I^2} = D{A^2} + A{I^2} \cr & = {b^2} + {{{a^2}{h^2}} \over {{a^2} + {h^2}}} \cr & = {{{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {a^2}{h^2}} \over {{a^2} + {h^2}}} \cr} \)

Từ đó, bán kính của đường tròn đó là

\({1 \over 2}\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {a^2}{h^2} + {b^2}{h^2}} \over {{a^2} + {h^2}}}} \)

Loigiaihay.com