Câu 75 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 75 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

LG a

Nếu ABCD là hình chữ nhật thì với mọi điểm M trog không gian ta luôn có \(M{A^2} + M{C^2} = M{B^2} + M{{\rm{D}}^2}\) .

Lời giải chi tiết:

Cách 1. Gọi O là giao điểm của AC và BD

\(\eqalign{ & M{A^2} + M{C^2} = 2M{O^2} + {{A{C^2}} \over 2} \cr & M{B^2} + M{{\rm{D}}^2} = 2M{O^2} + {{B{{\rm{D}}^2}} \over 2} \cr} \)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD. Vậy \(M{A^2} + M{C^2} = M{B^2} + M{{\rm{D}}^2}\).

Cách 2.

\(\eqalign{& M{A^2} + M{C^2} = {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)^2} \cr & = 2\overrightarrow {M{O^2}} + 2\overrightarrow {MO} .\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right) + {\overrightarrow {OA} ^2} + {\overrightarrow {OC} ^2} \cr & = 2\left( {M{O^2} + O{A^2}} \right) \cr & \left( {do\,OA = OC,\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 } \right) \cr} \)

Tương tự như tên ta có \(M{B^2} + M{{\rm{D}}^2} = 2\left( {M{O^2} + O{B^2}} \right)\).

Vì ABCD là hình chữ nhật nên OA = OB. Vậy \(M{A^2} + M{C^2} = M{B^2} + M{{\rm{D}}^2}\).

LG b

Nếu ABCD là hình bình hành thì \(M{A^2} + M{C^2} - M{B^2} - M{{\rm{D}}^2}\) không phụ thuộc vào vị trí điểm M trong không gian. Điều ngược lại có đúng không?

Lời giải chi tiết:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC cà BD, khi đó:

\(\eqalign{ & M{A^2} + M{C^2} - M{B^2} - M{{\rm{D}}^2} \cr & = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {J{\rm{D}}} } \right)^2} \cr & = 2M{I^2} + I{A^2} + I{C^2} - 2M{J^2} - I{B^2} - J{{\rm{D}}^2} \cr & = 2\left( {M{I^2} - M{J^2}} \right) + {1 \over 2}\left( {A{C^2} - B{{\rm{D}}^2}} \right) \cr} \)

● Nếu ABCD là hình bình hành thì I ≡ J

Khi đó

\(\eqalign{ & M{A^2} + M{C^2} - M{B^2} - M{{\rm{D}}^2} \cr & = {1 \over 2}\left( {A{C^2} - B{{\rm{D}}^2}} \right) \cr} \)

tức là \(M{A^2} + M{C^2} - M{B^2} - M{{\rm{D}}^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

● Ngược lạ, nếu \(M{A^2} + M{C^2} - M{B^2} - M{{\rm{D}}^2}\) không phụ thuộc vào bị trí của điểm M thì \(M{I^2} - M{J^2}\) cũng là hằng số. Khi đó chọn M lần lượt là điểm I và điểm J thì \(I{I^2} - I{J^2} = J{I^2} - J{J^2}\) , suy ra \( - I{J^2} = I{J^2}\), tức là IJ = 0 hay I ≡ J

Vậy ABCD là hình bình hành.

Chú ý cũng có thể sử dụng các công thức:

\(\eqalign{ & M{A^2} + M{C^2} = 2M{I^2} + {{A{C^2}} \over 2} \cr & M{B^2} + M{D^2} = 2M{J^2} + {{B{D^2}} \over 2} \cr} \)

và từ đó ta có

\(\eqalign{ & M{A^2} + M{C^2} - M{B^2} - M{{\rm{D}}^2} \cr & = 2\left( {M{I^2} - M{J^2}} \right) + {1 \over 2}\left( {A{C^2} - B{{\rm{D}}^2}} \right) \cr} \)

rồi lí luận như trên để đi đến kết quả.

Loigiaihay.com