Câu 72 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 72 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy các điểm \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, BB’, CC’ sao cho \({{A{A_1}} \over {AA'}} = {{B'{B_1}} \over {BB'}} = {{C'{C_1}} \over {CC'}} = {3 \over 4}\). Trên các đoạn thẳng CA1 và A’B1 lần lượt lấy các điểm I, J sao cho IJ // B’C1. Tính tỉ số \({{IJ} \over {B'{C_1}}}\) .

Lời giải chi tiết

 

Đặt \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow c \). Theo giả thiết ta có:

\(\overrightarrow {A{A_1}}  = {3 \over 4}\overrightarrow a ,\overrightarrow {B'{B_1}}  =  - {3 \over 4}\overrightarrow a ,\overrightarrow {C'{C_1}}  =  - {3 \over 4}\overrightarrow a .\)

Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {C{A_1}}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {A{A_1}}   \cr  &  = {3 \over 4}\overrightarrow a  - \overrightarrow c ;  \cr  & \overrightarrow {A'{B_1}}  = \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {B'{B_1}}   \cr  &  =  - {3 \over 4}\overrightarrow a  + \overrightarrow b ;  \cr  & \overrightarrow {B'{C_1}}  = \overrightarrow {B'A'}  + \overrightarrow {A'C'}  + \overrightarrow {C'{C_1}}   \cr  &  =  - {3 \over 4}\overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c  \cr} \)

Vì I thuộc CA1 nên \(\overrightarrow {CI}  = t\overrightarrow {C{A_1}}  = {3 \over 4}t\overrightarrow a  - t\overrightarrow c .\)

Do J thuộc A’B1 nên \(\overrightarrow {A'J}  = m\overrightarrow {A'{B_1}}  =  - {3 \over 4}m\overrightarrow a  + m\overrightarrow b \) .

Mặt khác

\(\eqalign{  & \overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {CA'}  + \overrightarrow {A'J}   \cr  &  =  - {3 \over 4}t\overrightarrow a  + t\overrightarrow c  + \overrightarrow a  - \overrightarrow c  - {3 \over 4}m\overrightarrow a  + m\overrightarrow b   \cr  &  = \left( {1 - {3 \over 4}t - {3 \over 4}m} \right)\overrightarrow a  + m\overrightarrow b  + \left( {t - 1} \right)\overrightarrow c  \cr} \)

Ta có:

\(\eqalign{  & IJ//B'{C_1} \Leftrightarrow \overrightarrow {IJ}  = k\overrightarrow {B'{C_1}}   \cr  &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  1 - {3 \over 4}t - {3 \over 4}m =  - {3 \over 4}k \hfill \cr  m =  - k \hfill \cr  t - 1 = k \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Suy ra

\(\eqalign{  & 1 - {3 \over 4}\left( {k + 1} \right) + {3 \over 4}k =  - {3 \over 4}k  \cr  &  \Leftrightarrow {1 \over 4} + {3 \over 4}k = 0 \Leftrightarrow k =  - {1 \over 3}  \cr  &  \Rightarrow t = {2 \over 3},m = {1 \over 3}. \cr} \)

Vậy điểm I thuộc A1C được xác định bởi \(\overrightarrow {CI}  = {2 \over 3}\overrightarrow {C{A_1}} \) và J thuộc A’B1 được xác định \(\overrightarrow {A'J}  = {1 \over 3}\overrightarrow {A'{B_1}} \).

Khi đó, ta có \({{IJ} \over {B'{C_1}}} = {1 \over 3}.\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài