Câu 72 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 72 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy các điểm \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, BB’, CC’ sao cho \({{A{A_1}} \over {AA'}} = {{B'{B_1}} \over {BB'}} = {{C'{C_1}} \over {CC'}} = {3 \over 4}\). Trên các đoạn thẳng CA₁ và A’B₁ lần lượt lấy các điểm I, J sao cho IJ // B’C₁. Tính tỉ số \({{IJ} \over {B'{C_1}}}\) .

Lời giải chi tiết

Đặt \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c \). Theo giả thiết ta có:

\(\overrightarrow {A{A_1}} = {3 \over 4}\overrightarrow a ,\overrightarrow {B'{B_1}} = - {3 \over 4}\overrightarrow a ,\overrightarrow {C'{C_1}} = - {3 \over 4}\overrightarrow a .\)

Ta có:

\(\eqalign{ & \overrightarrow {C{A_1}} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {A{A_1}} \cr & = {3 \over 4}\overrightarrow a - \overrightarrow c ; \cr & \overrightarrow {A'{B_1}} = \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {B'{B_1}} \cr & = - {3 \over 4}\overrightarrow a + \overrightarrow b ; \cr & \overrightarrow {B'{C_1}} = \overrightarrow {B'A'} + \overrightarrow {A'C'} + \overrightarrow {C'{C_1}} \cr & = - {3 \over 4}\overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \cr} \)

Vì I thuộc CA₁ nên \(\overrightarrow {CI} = t\overrightarrow {C{A_1}} = {3 \over 4}t\overrightarrow a - t\overrightarrow c .\)

Do J thuộc A’B₁ nên \(\overrightarrow {A'J} = m\overrightarrow {A'{B_1}} = - {3 \over 4}m\overrightarrow a + m\overrightarrow b \) .

Mặt khác

\(\eqalign{ & \overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {CA'} + \overrightarrow {A'J} \cr & = - {3 \over 4}t\overrightarrow a + t\overrightarrow c + \overrightarrow a - \overrightarrow c - {3 \over 4}m\overrightarrow a + m\overrightarrow b \cr & = \left( {1 - {3 \over 4}t - {3 \over 4}m} \right)\overrightarrow a + m\overrightarrow b + \left( {t - 1} \right)\overrightarrow c \cr} \)

Ta có:

\(\eqalign{ & IJ//B'{C_1} \Leftrightarrow \overrightarrow {IJ} = k\overrightarrow {B'{C_1}} \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 1 - {3 \over 4}t - {3 \over 4}m = - {3 \over 4}k \hfill \cr m = - k \hfill \cr t - 1 = k \hfill \cr} \right. \cr} \)

Suy ra

\(\eqalign{ & 1 - {3 \over 4}\left( {k + 1} \right) + {3 \over 4}k = - {3 \over 4}k \cr & \Leftrightarrow {1 \over 4} + {3 \over 4}k = 0 \Leftrightarrow k = - {1 \over 3} \cr & \Rightarrow t = {2 \over 3},m = {1 \over 3}. \cr} \)

Vậy điểm I thuộc A₁C được xác định bởi \(\overrightarrow {CI} = {2 \over 3}\overrightarrow {C{A_1}} \) và J thuộc A’B₁ được xác định \(\overrightarrow {A'J} = {1 \over 3}\overrightarrow {A'{B_1}} \).

Khi đó, ta có \({{IJ} \over {B'{C_1}}} = {1 \over 3}.\)

Loigiaihay.com