Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 1: Các hàm số lượng giác

Bài 1.6 trang 7 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Giải bài 1.6 trang 7 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Từ tính chất của hàm số ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Từ tính chất của hàm số \(y = \sin x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi \), hãy chứng minh rằng:

LG a

Hàm số \(y = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right) + B\) (\(A,B,\omega ,\alpha \) là những hằng số, \(A\omega  \ne 0\)) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(A\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x \in R\).

Đặt \(\omega x + \alpha  = u\) , ta được \(\sin \left( {u + \omega T} \right) = \sin u\), với mọi số thực \(u\) .

Vậy suy ra \(\omega T = k2\pi \) , tức là \(T = k{{2\pi } \over \omega },k\) nguyên.

Ngược lại dễ thấy rằng

\(A\sin \left( {\omega \left( {x + k{{2\pi } \over \omega }} \right) + \alpha } \right) \)\(= A\sin \left( {\omega x + \alpha  + k2\pi } \right)\)

\(= A\sin (\omega x + \alpha )\)

Vậy số \(T = {{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\) là số dương bé nhất thỏa mãn

\(A\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x \in R\).

(tức là \(y = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\) ).

LG b

Hàm số \(y = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right) + B\) (\(A,B,\omega ,\alpha \) là những hằng số, \(A\omega  \ne 0\)) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

T là số mà \(A\cos \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right)\), với mọi \(x \in R\) thì

\(\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha  + {\pi  \over 2}} \right) \) \(= \sin \left( {\omega x + \alpha  + {\pi  \over 2}} \right)\)

Đặt \(\omega x + \alpha  + {\pi  \over 2} = u\), ta được \(\sin (u + \omega T) = \sin u\) với mọi \(u\) , từ đó \(\omega T = k2\pi \) tức là \(T = k{{2\pi } \over \omega },k\) là số nguyên.

(Cách khác, \(A\cos \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x\), thì khi lấy \(x =  - {\alpha  \over \omega }\) , ta có \(\cos \omega T = \cos 0 = 1\) , từ đó \(\omega T = k2\pi \), tức \(T = k{{2\pi } \over \omega },k\) là số nguyên).

Từ đó dễ thấy rằng \(y = A\cos (\omega x + \alpha )\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\). 

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua