Bài 1.6 trang 7 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Giải bài 1.6 trang 7 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Từ tính chất của hàm số ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Từ tính chất của hàm số \(y = \sin x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi \), hãy chứng minh rằng:

LG a

Hàm số \(y = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right) + B\) (\(A,B,\omega ,\alpha \) là những hằng số, \(A\omega  \ne 0\)) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(A\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x \in R\).

Đặt \(\omega x + \alpha  = u\) , ta được \(\sin \left( {u + \omega T} \right) = \sin u\), với mọi số thực \(u\) .

Vậy suy ra \(\omega T = k2\pi \) , tức là \(T = k{{2\pi } \over \omega },k\) nguyên.

Ngược lại dễ thấy rằng

\(A\sin \left( {\omega \left( {x + k{{2\pi } \over \omega }} \right) + \alpha } \right) \)\(= A\sin \left( {\omega x + \alpha  + k2\pi } \right)\)

\(= A\sin (\omega x + \alpha )\)

Vậy số \(T = {{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\) là số dương bé nhất thỏa mãn

\(A\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x \in R\).

(tức là \(y = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\) ).

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2026

LG b

Hàm số \(y = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right) + B\) (\(A,B,\omega ,\alpha \) là những hằng số, \(A\omega  \ne 0\)) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

T là số mà \(A\cos \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right)\), với mọi \(x \in R\) thì

\(\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha  + {\pi  \over 2}} \right) \) \(= \sin \left( {\omega x + \alpha  + {\pi  \over 2}} \right)\)

Đặt \(\omega x + \alpha  + {\pi  \over 2} = u\), ta được \(\sin (u + \omega T) = \sin u\) với mọi \(u\) , từ đó \(\omega T = k2\pi \) tức là \(T = k{{2\pi } \over \omega },k\) là số nguyên.

(Cách khác, \(A\cos \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x\), thì khi lấy \(x =  - {\alpha  \over \omega }\) , ta có \(\cos \omega T = \cos 0 = 1\) , từ đó \(\omega T = k2\pi \), tức \(T = k{{2\pi } \over \omega },k\) là số nguyên).

Từ đó dễ thấy rằng \(y = A\cos (\omega x + \alpha )\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\). 

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí