Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 1: Các hàm số lượng giác

Bài 1.15 trang 9 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Giải bài 1.15 trang 9 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh:

LG a

Điểm có tọa độ \(\left( {k\pi ;0} \right)\) (k là một số nguyên) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \sin x\)

Lời giải chi tiết:

Điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) là điểm đối xứng của điểm \(M\left( {x;y} \right)\) qua điểm \(\left( {k\pi ;0} \right)\) khi và chỉ khi:

\({{x + x'} \over 2} = k\pi ,{{y + y'} \over 2} = 0\)

tức là 

\(\left\{ \matrix{
x' = - x + k2\pi \hfill \cr 
y' = y \hfill \cr} \right.\)

Gọi (C) là đồ thị hàm số \(y = \sin x\).

(C) nhận \(\left( {k\pi ;0} \right)\) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc (C) (tức là với mọi \(x,y = \sin x\)) điểm  \(M'\left( {x';y'} \right)\) nói trên (tức là \(x' =  - x + k2\pi ,y' =  - y)\) cũng thuộc (C); điều này có nghĩa là \( - \sin x = \sin \left( {x + k2\pi } \right),\) với mọi \(x \in Z\) là một tâm đối xứng của đồ thị (C) của hàm số \(y = \sin x\)

Cách chứng minh khác:

Xét phép đổi trục  tọa độ Oxy sang trục hệ tọa độ IXY, với \(I\left( {k\pi ;0} \right);x = X + k\pi ;y = Y\) (phép biến đổi gốc tọa độ), (h.vẽ) thì đồ thị của hàm số  \(y = \sin x\) trong hệ trục tọa độ Oxy là đồ thị của hàm số

\(Y = \sin \left( {X + k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\sin X\)

Trong hệ tọa độ IXY. Vì hàm số  \(Y = {\mathop{\rm sinX}\nolimits} \) cũng như hàm số \(Y =  - {\mathop{\rm sinX}\nolimits} \) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I là tâm đối xứng.

LG b

Điểm có tọa độ \(\left( {{{k\pi } \over 2};0} \right)\) (k là một số nguyên) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \tan x\)

Lời giải chi tiết:

Điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) là điểm đối xứng của \(M\left( {x;y} \right)\) qua điểm \(\left( {{{k\pi } \over 2};0} \right)\) khi và chỉ khi

\({{x + x'} \over 2} = {{k\pi } \over 2},{{y + y'} \over 2} = 0,\)

tức là 

\(\left\{ \matrix{
x' = - x + k\pi \hfill \cr 
y' = - y \hfill \cr} \right.\)

Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = \tan x\);

(C) nhận \(\left( {{{k\pi } \over 2};0} \right)\) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc (C) (tức là \(x \in {D_1},y = \tan x\)) điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) nói trên (tức là \(x' =  - x + k\pi ,y' =  - y\)) cũng thuộc (C); điều này có nghĩa là \( - \tan x = \tan \left( { - x + k\pi } \right),\) với mọi \(X \in {D_1}.\)

Điều đó đúng do \(\pi \) là chu kì của hàm số \(y = \tan x\).

Vậy điểm \(\left( {{{k\pi } \over 2};0} \right),k \in Z\) là một tâm đối xứng của đồ thị (C) của hàm số \(y = \tan x\)

Chứng minh cách khác:

Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang hệ trục tọa độ IXY, với \(I\left( {{{k\pi } \over 2};0} \right);x = X + {{k\pi } \over 2};y = Y.\)

Đồ thị của hàm số \(y = \tan x\) trong hệ trục toạn độ Oxy là đồ thị của hàm số                             

\(Y = \tan \left( {X + k{\pi \over 2}} \right) = \left\{ \matrix{
\tan X\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,K\text{ chẵn } \hfill \cr 
- {1 \over {\tan X}}\,\,\,\,\,neu\,\,K\text{ lẻ } \hfill \cr} \right.\)

Trong hệ tọa độ IXY. Vì hàm số \(Y = \tan X\) cũng như hàm số \(Y =  - {1 \over {\tan X}}\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I làm tâm đối xứng.

LG c

Đường thẳng có phương trình \(x = k\pi \) (k là một số nguyên) là trục đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \cos x\)

Lời giải chi tiết:

Điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) là điểm đối xứng của điểm \(M\left( {x;y} \right)\) qua đường thẳng \(x = k\pi \) (h.vẽ) khi và chỉ khi \({{x + x'} \over 2} = k\pi ,y = y',\) tức là

\(\left\{ \matrix{{x'} =  - x + k2\pi  \hfill \cr {y'} = y \hfill \cr}  \right.\)

Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = \cos x.\)

(C) nhận đường thẳng \(x = k\pi \) làm một trục đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc C (tức là với mọi \(x,y = \cos x\)) điểm  \(M'\left( {x';y'} \right)\) nói trên cũng thuộc (C).

Điều này có nghĩa là

\(\cos x = \cos \left( { - x + k2\pi } \right),\forall x \in R\)

Rõ ràng ta có đẳng thức đó, do \(2\pi \) là chu kì của hàm số \(y = \cos x.\)

Vậy đường thẳng \(x = k\pi ,k \in Z\) là một trục đối xứng của đồ thị (C) của hàm số \(y = \cos x.\)

Cách chứng minh khác

Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang trục toạ độ IXY, với \(I\left( {k\pi ;0} \right);x = X + k\pi ;y = Y,\) thì đồ thị của hàm số \(y = \cos x\) trong hệ trục tọa độ Oxy là đồ thị của hàm số \(Y = \cos \left( {X + k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\cos X\) trong hệ tọa độ IXY.

Vì hàm số \(Y = \cos X\) cũng như hàm số \(Y =  - \cos X\) là các hàm số chẵn nên đồ thị đó nhận trục IXY (tức là đường thẳng \(x = k\pi \)) làm trục đối xứng. 

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store