-
ĐẠI SỐ - SBT TOÁN 10 NÂNG CAO
-
Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp
-
Chương 2: Hàm số
-
CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
- Bài 1. Đại cương về phương trình
- Bài 2. Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn
- Bài 3. Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai
- Bài 4. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
- Bài 5. Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn
- Bài tập Ôn tập chương III - Phương trình bậc nhất và bậc hai
-
CHƯƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
- Bài 1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức
- Bài 2. Đại cương về bất phương trình
- Bài 3. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Bài 4. Dấu của nhị thức bậc nhất
- Bài 5. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 6. Dấu của tam thức bậc hai
- Bài 7. Bất phương trình bậc hai
- Bài 8. Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai
- Bài tập Ôn tập chương IV - Bất đẳng thức và bất phương trình
-
CHƯƠNG V. THỐNG KÊ
-
CHƯƠNG VI. GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
-
BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM - ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO
-
-
HÌNH HỌC-SBT TOÁN 10 NÂNG CAO
Bài 31 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 31 trang 10 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho...
Đề bài
Cho tam giác \(ABC\). Lấy các điểm \(A’, B’, C’\) sao cho
\(\overrightarrow {A'B} = - 2\overrightarrow {A'C} ;\) \(\overrightarrow {B'C} = - 2\overrightarrow {B'A};\) \(\overrightarrow {C'A} = - 2\overrightarrow {C'B} \)
Đoạn thẳng \(AA’\) cắt các đoạn \(BB’\) và \(CC’\) lần lượt tại \(M\) và \(N\), hai đoạn \(BB’\) và \(CC’\) cắt nhau tại \(P\).
a) So sánh các đoạn thẳng \(AM, MN, NA’.\)
b) So sánh diện tích hai tam giác \(ABC, MNP.\)
Lời giải chi tiết
a) Đặt \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a \,\,;\,\,\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b \). Theo giả thiết ta có:
\(\overrightarrow {CA'} = \dfrac{{\overrightarrow {CB} }}{3} = \dfrac{{\overrightarrow b }}{3};\) \(\overrightarrow {CB'} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {CA} = \dfrac{{2\overrightarrow a }}{3};\) \(\overrightarrow {CC'} = \dfrac{{\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CB} }}{3} = \dfrac{{\overrightarrow a + 2\overrightarrow b }}{3}\)
Vì \(M\) là giao điểm của \(AA’\) và \(BB’\) nên có các số \(x\) và \(y\) sao cho :
\(\overrightarrow {CM} = x\overrightarrow {CA} + (1 - x)\overrightarrow {CA'}\)
\( = y\overrightarrow {CB} + (1 - y)\overrightarrow {CB'} \),
hay
\(x\overrightarrow a + (1 - x)\dfrac{{\overrightarrow b }}{3}\)
\(= y\overrightarrow b + (1 - y)\dfrac{{2\overrightarrow a }}{3}\).
Vì hai vec tơ \(\overrightarrow a \,,\,\,\overrightarrow b \) không cùng phương nên từ đẳng thức trên ta suy ra
\(x = \dfrac{{2(1 - y)}}{3}\) và \(y = \dfrac{{1 - x}}{3}\).
Giaỉ ra ta được \(x = \dfrac{4}{7}\,,\,\,y = \dfrac{1}{7}\)
Từ đó ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {CM} = \dfrac{4}{7}\overrightarrow {CA} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow {CA'} \\ \Rightarrow \dfrac{4}{7}\overrightarrow {MA} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow {MA'} = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {MA} = - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {MA'} \\\Rightarrow \,AM = \dfrac{3}{7}AA'\\\overrightarrow {CM} = \dfrac{1}{7}\overrightarrow {CB} + \dfrac{6}{7}\overrightarrow {CB'}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{7}\overrightarrow {MB} + \dfrac{6}{7}\overrightarrow {MB'} = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {MB} = - 6\overrightarrow {MB'} \\\Rightarrow \,\,MB' = \dfrac{1}{7}BB'\end{array}\)
Tương tự với \(MB' = \dfrac{1}{7}BB'\) ta cũng có \(NA' = \dfrac{1}{7}AA'\).
Vì \(AM = \dfrac{3}{7}AA'\) nên \(MN = \dfrac{3}{7}AA'\). Tóm lại, ta có \(AM=MN=3NA’.\)
Tương tự \(BP=PM=3MB’\) và \(CN=NP=3PC’.\)
b) Gọi \(S\) là diện tích tam giác \(ABC\). Từ giả thiết ta suy ra \(AB' = \dfrac{1}{3}AC,\) \(CA' = \dfrac{1}{3}CB,\) \(BC' = \dfrac{1}{3}BA\).
Vậy ta có \({S_{ABB'}} = {S_{BCC'}} = {S_{CAA'}} = \dfrac{1}{3}S\).
Trong tam giác ABB’, ta có \(MB' = \dfrac{1}{7}BB'\) nên \({S_{AB'M}} = \dfrac{1}{7}{S_{ABB'}} = \dfrac{1}{{21}}S\).
Tương tự: \({S_{AB'M}} = {S_{BC'P}} = {S_{CA'N}} = \dfrac{1}{{21}}S\).
Từ đó suy ra
\(\begin{array}{l}{S_{MNP}} = {S_{ABC}} - {S_{ABB'}} - {S_{BCC'}}\\ - {S_{CAA'}} + {S_{AB'M}} + {S_{BC'P}} + {S_{CA'N}}\\ = S - 3.\dfrac{S}{3} + 3.\dfrac{1}{{21}}S = \dfrac{1}{7}S\end{array}\)
Vậy \({S_{ABC}} = 7{S_{MNP}}\).
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 32 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 33 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 34 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 35 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 36 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
