Bài 31 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài 31 trang 10 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho...

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ . Lấy các điểm $A’, B’, C’$ sao cho

$\overrightarrow {A'B} = - 2\overrightarrow {A'C} ;$ $\overrightarrow {B'C} = - 2\overrightarrow {B'A};$ $\overrightarrow {C'A} = - 2\overrightarrow {C'B}$

Đoạn thẳng $AA’$ cắt các đoạn $BB’$ và $CC’$ lần lượt tại $M$ và $N$ , hai đoạn $BB’$ và $CC’$ cắt nhau tại $P$ .

a) So sánh các đoạn thẳng $AM, MN, NA’.$

b) So sánh diện tích hai tam giác $ABC, MNP.$

Lời giải chi tiết

a) Đặt $\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a \,\,;\,\,\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b$ . Theo giả thiết ta có:

$\overrightarrow {CA'} = \dfrac{{\overrightarrow {CB} }}{3} = \dfrac{{\overrightarrow b }}{3};$ $\overrightarrow {CB'} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {CA} = \dfrac{{2\overrightarrow a }}{3};$ $\overrightarrow {CC'} = \dfrac{{\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CB} }}{3} = \dfrac{{\overrightarrow a + 2\overrightarrow b }}{3}$

Vì $M$ là giao điểm của $AA’$ và $BB’$ nên có các số $x$ và $y$ sao cho :

$\overrightarrow {CM} = x\overrightarrow {CA} + (1 - x)\overrightarrow {CA'}$

$= y\overrightarrow {CB} + (1 - y)\overrightarrow {CB'}$ ,

hay

$x\overrightarrow a + (1 - x)\dfrac{{\overrightarrow b }}{3}$

$= y\overrightarrow b + (1 - y)\dfrac{{2\overrightarrow a }}{3}$ .

Vì hai vec tơ $\overrightarrow a \,,\,\,\overrightarrow b$ không cùng phương nên từ đẳng thức trên ta suy ra

$x = \dfrac{{2(1 - y)}}{3}$ và $y = \dfrac{{1 - x}}{3}$ .

Giaỉ ra ta được $x = \dfrac{4}{7}\,,\,\,y = \dfrac{1}{7}$

Từ đó ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow {CM} = \dfrac{4}{7}\overrightarrow {CA} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow {CA'} \\ \Rightarrow \dfrac{4}{7}\overrightarrow {MA} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow {MA'} = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {MA} = - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {MA'} \\\Rightarrow \,AM = \dfrac{3}{7}AA'\\\overrightarrow {CM} = \dfrac{1}{7}\overrightarrow {CB} + \dfrac{6}{7}\overrightarrow {CB'}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{7}\overrightarrow {MB} + \dfrac{6}{7}\overrightarrow {MB'} = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {MB} = - 6\overrightarrow {MB'} \\\Rightarrow \,\,MB' = \dfrac{1}{7}BB'\end{array}$

Tương tự với $MB' = \dfrac{1}{7}BB'$ ta cũng có $NA' = \dfrac{1}{7}AA'$ .

Vì $AM = \dfrac{3}{7}AA'$ nên $MN = \dfrac{3}{7}AA'$ . Tóm lại, ta có $AM=MN=3NA’.$

Tương tự $BP=PM=3MB’$ và $CN=NP=3PC’.$

b) Gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC$ . Từ giả thiết ta suy ra $AB' = \dfrac{1}{3}AC,$ $CA' = \dfrac{1}{3}CB,$ $BC' = \dfrac{1}{3}BA$ .

Vậy ta có ${S_{ABB'}} = {S_{BCC'}} = {S_{CAA'}} = \dfrac{1}{3}S$ .

Trong tam giác ABB’, ta có $MB' = \dfrac{1}{7}BB'$ nên ${S_{AB'M}} = \dfrac{1}{7}{S_{ABB'}} = \dfrac{1}{{21}}S$ .

Tương tự: ${S_{AB'M}} = {S_{BC'P}} = {S_{CA'N}} = \dfrac{1}{{21}}S$ .

Từ đó suy ra

$\begin{array}{l}{S_{MNP}} = {S_{ABC}} - {S_{ABB'}} - {S_{BCC'}}\\ - {S_{CAA'}} + {S_{AB'M}} + {S_{BC'P}} + {S_{CA'N}}\\ = S - 3.\dfrac{S}{3} + 3.\dfrac{1}{{21}}S = \dfrac{1}{7}S\end{array}$

Vậy ${S_{ABC}} = 7{S_{MNP}}$ .

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 32 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 32 trang 10 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC và ba vec tơ cố định...
Bài 33 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 33 trang 10 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC. Hãy xác định các điểm G, P, Q, R, S sao cho:...
Bài 34 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 34 trang 10 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC và một điểm O bất kì. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn luôn tìm được ba số...
Bài 35 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 35 trang 11 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC và đường thẳng d...
Bài 36 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 36 trang 11 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho ...
Bài 37 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 37 trang 11 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC với các cạnh AB=c, BC=a, CA=b...
Bài 38 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 38 trang 11 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng...
Bài 39 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 39 trang 11 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho ba dây cung song song AA_1, BB_1, CC_1 của đường tròn (O). Chứng minh rằng trực tâm của ba tam giác ABC_1, BCA_1, CAB_1 nằm trên một đường thẳng.
Bài 40 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 40 trang 11 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho n điểm A_1, A_2, …,A_n và n số k_1, k_2, …,k_n mà k_1+ k_2+ …+k_n =k khác 0...
Bài 41 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 41 trang 11 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho sáu điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi Delta là một tam giác có ba đỉnh lấy trong sáu điểm đó và Delta ' là tam giác có ba đỉnh là ba điểm còn lại.
Bài 42 trang 12 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 42 trang 12 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho năm điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi Delta là một tam giác có ba đỉnh lấy trong năm điểm đó, hai điểm còn lại xác định một đoạn thẳng theta ...
Bài 30 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 30 trang 10 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho hình thang ABCD với các cạnh đáy là AB và CD (các cạnh bên không song song). Chứng minh rằng nếu cho trước một điểm M nằm giữa hai điểm hai điểm A, D thì có một điểm N nằm trên cạnh BC sao cho AN//MC và DN//MB.
Bài 29 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 29 trang 10 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng AM, AC, BC lần lượt tại D, E, F...
Bài 28 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 28 trang 9 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC. Đặt ...
Bài 27 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 27 trang 9 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho điểm O cố định và hai vec tơ u, v cố định...
Bài 26 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 26 trang 9 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua hai điểm A, B cố định. Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi có số \alpha sao cho OM = \alpha OA + (1 - \alpha )OB. Với điều kiện nào của \alpha thì M thuộc đoạn thẳng AB?
Bài 25 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 25 trang 9 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho hai điểm phân biệt A, B...
Bài 24 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 24 trang 9 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A. Chứng minh rằng...
Bài 23 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài tập Bài 23 trang 9 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có cùng trọng tâm.
Bài 22 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 22 trang 9 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho điểm O nằm trong hình bình hành ABCD. Các đường thẳng đi qua O và song song với các cạnh của hình bình hành lần lượt cắt AB, BC, CD, DA tại M, N, P, Q...
Bài 21 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 21 trang 9 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC,I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua I, lần lượt cắt hai đường thẳng CA và CB tại A’ và B’...
Bài 20 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 20 trang 8 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC và các điểm A_1, B_1, C_1 lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB...
Bài 19 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 19 trang 8 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỉ số lần lượt là m, n, p (đều khác 1). Chứng minh rằng
Bài 18 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 18 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE...
Bài 17 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 17 trang 8 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P là các điểm chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo cùng tỉ số k. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.
Bài 16 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 16 trang 8 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Điểm M gọi là chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k nếu ...
Bài 15 trang 7 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 15 trang 7 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho ba điểm phân biệt A, B, C...
Bài 14 trang 7 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 14 trang 7 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Chứng minh rằng với ba véc tơ tùy ý a,b,c luôn có ba số...
Bài 13 trang 7 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 13 trang 7 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho ba vec tơ OA, OB, OC có độ dài bằng nhau và ...
Bài 12 trang 7 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 12 trang 7 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Chứng minh rằng hai vec tơ a và b cùng phương khi và chỉ khi có cặp số ...
Bài 11 trang 7 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 11 trang 7 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho ba điểm O, M, N và số k. Lấy các điểm M’, N’ sao cho...

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Click để xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.