Bài 31 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài 31 trang 10 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho...

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\). Lấy các điểm \(A’, B’, C’\) sao cho

\(\overrightarrow {A'B}  =  - 2\overrightarrow {A'C} ;\) \(\overrightarrow {B'C}  =  - 2\overrightarrow {B'A};\) \(\overrightarrow {C'A}  =  - 2\overrightarrow {C'B} \)

Đoạn thẳng \(AA’\) cắt các đoạn \(BB’\) và \(CC’\) lần lượt tại \(M\) và \(N\), hai đoạn \(BB’\) và \(CC’\) cắt nhau tại \(P\).

a) So sánh các đoạn thẳng \(AM, MN, NA’.\)

b) So sánh diện tích hai tam giác \(ABC, MNP.\)

Lời giải chi tiết

a) Đặt \(\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow a \,\,;\,\,\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow b \). Theo giả thiết ta có:

\(\overrightarrow {CA'}  = \dfrac{{\overrightarrow {CB} }}{3} = \dfrac{{\overrightarrow b }}{3};\) \(\overrightarrow {CB'}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {CA}  = \dfrac{{2\overrightarrow a }}{3};\) \(\overrightarrow {CC'}  = \dfrac{{\overrightarrow {CA}  + 2\overrightarrow {CB} }}{3} = \dfrac{{\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b }}{3}\)

Vì \(M\) là giao điểm của \(AA’\) và \(BB’\) nên có các số \(x\) và \(y\) sao cho :

\(\overrightarrow {CM}  = x\overrightarrow {CA}  + (1 - x)\overrightarrow {CA'}\)

\(  = y\overrightarrow {CB}  + (1 - y)\overrightarrow {CB'} \),

hay

\(x\overrightarrow a  + (1 - x)\dfrac{{\overrightarrow b }}{3}\)

\(= y\overrightarrow b  + (1 - y)\dfrac{{2\overrightarrow a }}{3}\).

Vì hai vec tơ \(\overrightarrow a \,,\,\,\overrightarrow b \) không cùng phương nên từ đẳng thức trên ta suy ra

\(x = \dfrac{{2(1 - y)}}{3}\) và \(y = \dfrac{{1 - x}}{3}\).

Giaỉ ra ta được \(x = \dfrac{4}{7}\,,\,\,y = \dfrac{1}{7}\)

Từ đó ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {CM}  = \dfrac{4}{7}\overrightarrow {CA}  + \dfrac{3}{7}\overrightarrow {CA'} \\ \Rightarrow \dfrac{4}{7}\overrightarrow {MA}  + \dfrac{3}{7}\overrightarrow {MA'}  = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {MA}  =  - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {MA'} \\\Rightarrow \,AM = \dfrac{3}{7}AA'\\\overrightarrow {CM}  = \dfrac{1}{7}\overrightarrow {CB}  + \dfrac{6}{7}\overrightarrow {CB'}\\  \Rightarrow \dfrac{1}{7}\overrightarrow {MB}  + \dfrac{6}{7}\overrightarrow {MB'}  = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {MB}  =  - 6\overrightarrow {MB'} \\\Rightarrow \,\,MB' = \dfrac{1}{7}BB'\end{array}\)

Tương tự với \(MB' = \dfrac{1}{7}BB'\) ta cũng  có \(NA' = \dfrac{1}{7}AA'\).

Vì \(AM = \dfrac{3}{7}AA'\) nên \(MN = \dfrac{3}{7}AA'\). Tóm lại, ta có \(AM=MN=3NA’.\)

Tương tự \(BP=PM=3MB’\) và \(CN=NP=3PC’.\)

b) Gọi \(S\) là diện tích tam giác \(ABC\). Từ giả thiết ta suy ra \(AB' = \dfrac{1}{3}AC,\) \(CA' = \dfrac{1}{3}CB,\) \(BC' = \dfrac{1}{3}BA\).

Vậy ta có \({S_{ABB'}} = {S_{BCC'}} = {S_{CAA'}} = \dfrac{1}{3}S\).

Trong tam giác ABB’, ta có \(MB' = \dfrac{1}{7}BB'\) nên \({S_{AB'M}} = \dfrac{1}{7}{S_{ABB'}} = \dfrac{1}{{21}}S\).

Tương tự: \({S_{AB'M}} = {S_{BC'P}} = {S_{CA'N}} = \dfrac{1}{{21}}S\).

Từ đó suy ra

\(\begin{array}{l}{S_{MNP}} = {S_{ABC}} - {S_{ABB'}} - {S_{BCC'}}\\ - {S_{CAA'}} + {S_{AB'M}} + {S_{BC'P}} + {S_{CA'N}}\\ = S - 3.\dfrac{S}{3} + 3.\dfrac{1}{{21}}S = \dfrac{1}{7}S\end{array}\)

Vậy \({S_{ABC}} = 7{S_{MNP}}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 32 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài 32 trang 10 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC và ba vec tơ cố định...

  • Bài 33 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài 33 trang 10 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC. Hãy xác định các điểm G, P, Q, R, S sao cho:...

  • Bài 34 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài 34 trang 10 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC và một điểm O bất kì. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn luôn tìm được ba số...

  • Bài 35 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài 35 trang 11 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC và đường thẳng d...

  • Bài 36 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài 36 trang 11 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho ...

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí