Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 4: Tích của một vec tơ với một số

Bài 30 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài 30 trang 10 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho hình thang ABCD với các cạnh đáy là AB và CD (các cạnh bên không song song). Chứng minh rằng nếu cho trước một điểm M nằm giữa hai điểm hai điểm A, D thì có một điểm N nằm trên cạnh BC sao cho AN//MC và DN//MB.

Đề bài

Cho hình thang \(ABCD\) với các cạnh đáy là \(AB\) và \(CD\) (các cạnh bên không song song). Chứng minh rằng nếu cho trước một điểm \(M\) nằm giữa hai điểm hai điểm \(A, D\) thì có một điểm \(N\) nằm trên cạnh \(BC\) sao cho \(AN//MC\) và \(DN//MB.\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\).

Đặt \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b \,\,;\,\,\,\overrightarrow {OD}  = k\overrightarrow a \), khi đó \(\overrightarrow {OC}  = k\overrightarrow b \) (vì \(AB//CD\)). Giả sử \(\overrightarrow {OM}  = m\overrightarrow a \). Ta xác định điểm \(N\) trên \(BC\) sao cho \(AN//CM\). Ta chứng minh rằng \(DN//BM\).

Vì \(N\) nằm trên \(BC\) nên \(\overrightarrow {ON}  = n\overrightarrow b \). Khi đó

\(\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {ON}  - \overrightarrow {OA}  = n\overrightarrow b  - \overrightarrow a \)

Mặt khác \(\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {OM}  - \overrightarrow {OC}  = m\overrightarrow a  - k\overrightarrow b \).

Vì \(AN//CM\) nên hai vec tơ \(\overrightarrow {AN} \,,\,\,\overrightarrow {CM} \) cùng phương, tức là \(\dfrac{n}{{ - k}} = \dfrac{{ - 1}}{m}\) hay \(n = \dfrac{k}{m}\). 

Vậy \(\overrightarrow {ON}  = \dfrac{k}{m}\overrightarrow b \). Từ đó \(\overrightarrow {DN}  = \overrightarrow {ON}  - \overrightarrow {OD}  = \dfrac{k}{m}\overrightarrow b  - k\overrightarrow a \).

Lại có \(\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {OM}  - \overrightarrow {OB}\)

\(  = m\overrightarrow a  - \overrightarrow b\)

\(  =  - \dfrac{m}{k}\left( {\dfrac{k}{m}\overrightarrow b  - k\overrightarrow a } \right)\)

\(=  - \dfrac{m}{k}\overrightarrow {DN} \)

Vậy \(\overrightarrow {BM} \,,\,\,\overrightarrow {DN} \) cùng phương hay \(BM//DN.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store