Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 4: Tích của một vec tơ với một số

Bài 19 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài 19 trang 8 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỉ số lần lượt là m, n, p (đều khác 1). Chứng minh rằng

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tam giác \(ABC\). Các điểm \(M, N, P\) lần lượt chia các đoạn thẳng \(AB, BC, CA\) theo các tỉ số lần lượt là \(m, n, p\) (đều khác 1). Chứng minh rằng

LG a

\(M, N, P\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(mnp=1\) (Định lí Mê-nê-la-uýt);

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả bài tập 16 trang 8 SBT hình học 10 nâng cao:

Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k khác 1 thì với điểm O ta có: \(\overrightarrow {OM}  = \dfrac{{\overrightarrow {OA}  - k\overrightarrow {OB} }}{{1 - k}}\)

Lời giải chi tiết:

Lấy một điểm \(O\) nào đó ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {OM}  = {{\overrightarrow {OA}  - m\overrightarrow {OB} } \over {1 - m}}  \cr  & \overrightarrow {ON}  = {{\overrightarrow {OB}  - n\overrightarrow {OC} } \over {1 - n}}  \cr  & \overrightarrow {OP}  = {{\overrightarrow {OC}  - p\overrightarrow {OA} } \over {1 - p}} \cr} \)

Để đơn giản tính toán, ta chọn điểm O trùng với điểm C.

Khi đó ta có

\(\overrightarrow {CM}  = \dfrac{{\overrightarrow {CA}  - m\overrightarrow {CB} }}{{1 - m}};\) \(\overrightarrow {CN}  = \dfrac{{\overrightarrow {CB} }}{{1 - n}};\) \(\overrightarrow {CP}  = \dfrac{{ - p\overrightarrow {CA} }}{{1 - p}}\)                   (1)

Từ hai đẳng thức cuối của (1), ta có:

\(\overrightarrow {CB}  = (1 - n)\overrightarrow {CN} \,,\,\,\,\overrightarrow {CA}  = \dfrac{{p - 1}}{p}\overrightarrow {CP} \)

Và thay vào đẳng thức đầu của (1), ta được

\(\overrightarrow {CM}  = \dfrac{{p - 1}}{{p(1 - m)}}\overrightarrow {CP}  - \dfrac{{m(1 - n)}}{{1 - m}}\overrightarrow {CN} \)

Từ bài tập 15b) ta suy ra điều kiện cần và đủ để ba điểm \(M, N, P\) thẳng hàng là

\(\dfrac{{p - 1}}{{p(1 - m)}} - \dfrac{{m(1 - n)}}{{1 - m}} = 1\)

\(\Leftrightarrow \,\,p - 1 - pm(1 - n) = p(1 - m)\)

\(\Leftrightarrow \,\,mnp = 1.\)

LG b

\(AN, CM, BP\) đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi \(mnp=-1\) (Định lí Xê-va).

Lời giải chi tiết:

 (h.9).

Giả sử \(AN\) cắt \(BP\) tại \(I\) và giả sử \(I\) chia đoạn thẳng \(AN\) theo tỉ số \(x\).

Như vậy ba điểm \(P, I, B\) thẳng hàng và lần lượt nằm trên ba cạnh của tam giác \(CAN\).

Ta có \(P\) chia đoạn thẳng \(CA\) theo tỉ số \(p, I\) chia đoạn thẳng \(AN\) theo tỉ số \(x, B\) chia đoạn thẳng \(NC\) theo tỉ số \(\dfrac{n}{{n - 1}}\) suy ra từ giả thiết \(N\) chia đoạn \(BC\) theo tỉ số \(n\)).

Vậy theo định lí Mê-nê-la-uýt ta có \(p.x.\dfrac{n}{{n - 1}} = 1\,\, \Leftrightarrow \,\,x = \dfrac{{n - 1}}{{np}}\).

Giả sử \(AN\) cắt \(CM\) tại \(I’\) và \(I’\) chia \(AN\) theo tỉ số \(x’\).

Như vậy ba điểm \(I’, C, M\) thẳng hàng và lần lượt nằm trên ba cạnh của tam giác \(ANB\).

Ta có \(I’\) chia đoạn \(AN\) theo tỉ số \(x’, C\) chia đoạn \(NB\) theo tỉ số \(\dfrac{1}{{1 - n}}\), \(M\) chia đoạn \(BA\) theo tỉ số \(\dfrac{1}{m}\).

Vậy áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt, ta có

\(x'.\dfrac{1}{{1 - n}}.\dfrac{1}{m} = 1\,\, \Leftrightarrow \,\,x' = m(1 - n).\)

Ba đường thẳng \(AN, BP, CM\) đồng quy khi và chỉ khi \(I\) trùng \(I’ \) hay \(x=x’\), có nghĩa là:

\(\dfrac{{n - 1}}{{np}} = m(1 - n)\,\, \Leftrightarrow \,\,mnp = 1\).

+) Xét trường hợp \(AN\) và \(BP\) song song (h.10).

Ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {CN}  - \overrightarrow {CA}  = {1 \over {1 - n}}\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA} \,;  \cr  & \overrightarrow {BP}  = \overrightarrow {CP}  - \overrightarrow {CB}  = {p \over {p - 1}}\overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {CB} \,;  \cr  & \overrightarrow {CM}  = {1 \over {1 - m}}\overrightarrow {CA}  - {m \over {1 - m}}\overrightarrow {CB} . \cr} \)

Do \(AN//BP\) nên

\(\dfrac{1}{{1 - n}}:( - 1)\, =  - 1:\dfrac{p}{{p - 1}}\)

\(\Leftrightarrow \,\,\dfrac{1}{{1 - n}} = \dfrac{{p - 1}}{p}\)

\(\Leftrightarrow \,\,p = (1 - n)(p - 1)\)

\(\Leftrightarrow \,\,\,np = n - 1.\)    (*)

Khi đó điều kiện cần và đủ để AN, BP, CM song song với nhau là \(\overrightarrow {CM} \) cùng phương với \(\overrightarrow {AN} \).

Vì \(\overrightarrow {CM}  = \dfrac{{\overrightarrow {CA}  - m\overrightarrow {CB} }}{{1 - m}}\) nên \(\overrightarrow {CM} \) cùng phương với \(\overrightarrow {AN} \) khi và chỉ khi 

\(\dfrac{1}{{1 - n}}:( - m) =  - 1\)

\(\Leftrightarrow \,\,m(n - 1) =  - 1.\)   (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra \(mnp = -1\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store