-
ĐẠI SỐ - SBT TOÁN 10 NÂNG CAO
-
Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp
-
Chương 2: Hàm số
-
CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
- Bài 1. Đại cương về phương trình
- Bài 2. Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn
- Bài 3. Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai
- Bài 4. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
- Bài 5. Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn
- Bài tập Ôn tập chương III - Phương trình bậc nhất và bậc hai
-
CHƯƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
- Bài 1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức
- Bài 2. Đại cương về bất phương trình
- Bài 3. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Bài 4. Dấu của nhị thức bậc nhất
- Bài 5. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 6. Dấu của tam thức bậc hai
- Bài 7. Bất phương trình bậc hai
- Bài 8. Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai
- Bài tập Ôn tập chương IV - Bất đẳng thức và bất phương trình
-
CHƯƠNG V. THỐNG KÊ
-
CHƯƠNG VI. GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
-
BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM - ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO
-
-
HÌNH HỌC-SBT TOÁN 10 NÂNG CAO
Bài 19 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài 19 trang 8 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỉ số lần lượt là m, n, p (đều khác 1). Chứng minh rằng
Cho tam giác \(ABC\). Các điểm \(M, N, P\) lần lượt chia các đoạn thẳng \(AB, BC, CA\) theo các tỉ số lần lượt là \(m, n, p\) (đều khác 1). Chứng minh rằng
LG a
\(M, N, P\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(mnp=1\) (Định lí Mê-nê-la-uýt);
Phương pháp giải:
Sử dụng kết quả bài tập 16 trang 8 SBT hình học 10 nâng cao:
Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k khác 1 thì với điểm O ta có: \(\overrightarrow {OM} = \dfrac{{\overrightarrow {OA} - k\overrightarrow {OB} }}{{1 - k}}\)
Lời giải chi tiết:
Lấy một điểm \(O\) nào đó ta có
\(\eqalign{ & \overrightarrow {OM} = {{\overrightarrow {OA} - m\overrightarrow {OB} } \over {1 - m}} \cr & \overrightarrow {ON} = {{\overrightarrow {OB} - n\overrightarrow {OC} } \over {1 - n}} \cr & \overrightarrow {OP} = {{\overrightarrow {OC} - p\overrightarrow {OA} } \over {1 - p}} \cr} \)
Để đơn giản tính toán, ta chọn điểm O trùng với điểm C.
Khi đó ta có
\(\overrightarrow {CM} = \dfrac{{\overrightarrow {CA} - m\overrightarrow {CB} }}{{1 - m}};\) \(\overrightarrow {CN} = \dfrac{{\overrightarrow {CB} }}{{1 - n}};\) \(\overrightarrow {CP} = \dfrac{{ - p\overrightarrow {CA} }}{{1 - p}}\) (1)
Từ hai đẳng thức cuối của (1), ta có:
\(\overrightarrow {CB} = (1 - n)\overrightarrow {CN} \,,\,\,\,\overrightarrow {CA} = \dfrac{{p - 1}}{p}\overrightarrow {CP} \)
Và thay vào đẳng thức đầu của (1), ta được
\(\overrightarrow {CM} = \dfrac{{p - 1}}{{p(1 - m)}}\overrightarrow {CP} - \dfrac{{m(1 - n)}}{{1 - m}}\overrightarrow {CN} \)
Từ bài tập 15b) ta suy ra điều kiện cần và đủ để ba điểm \(M, N, P\) thẳng hàng là
\(\dfrac{{p - 1}}{{p(1 - m)}} - \dfrac{{m(1 - n)}}{{1 - m}} = 1\)
\(\Leftrightarrow \,\,p - 1 - pm(1 - n) = p(1 - m)\)
\(\Leftrightarrow \,\,mnp = 1.\)
LG b
\(AN, CM, BP\) đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi \(mnp=-1\) (Định lí Xê-va).
Lời giải chi tiết:
(h.9).
Giả sử \(AN\) cắt \(BP\) tại \(I\) và giả sử \(I\) chia đoạn thẳng \(AN\) theo tỉ số \(x\).
Như vậy ba điểm \(P, I, B\) thẳng hàng và lần lượt nằm trên ba cạnh của tam giác \(CAN\).
Ta có \(P\) chia đoạn thẳng \(CA\) theo tỉ số \(p, I\) chia đoạn thẳng \(AN\) theo tỉ số \(x, B\) chia đoạn thẳng \(NC\) theo tỉ số \(\dfrac{n}{{n - 1}}\) suy ra từ giả thiết \(N\) chia đoạn \(BC\) theo tỉ số \(n\)).
Vậy theo định lí Mê-nê-la-uýt ta có \(p.x.\dfrac{n}{{n - 1}} = 1\,\, \Leftrightarrow \,\,x = \dfrac{{n - 1}}{{np}}\).
Giả sử \(AN\) cắt \(CM\) tại \(I’\) và \(I’\) chia \(AN\) theo tỉ số \(x’\).
Như vậy ba điểm \(I’, C, M\) thẳng hàng và lần lượt nằm trên ba cạnh của tam giác \(ANB\).
Ta có \(I’\) chia đoạn \(AN\) theo tỉ số \(x’, C\) chia đoạn \(NB\) theo tỉ số \(\dfrac{1}{{1 - n}}\), \(M\) chia đoạn \(BA\) theo tỉ số \(\dfrac{1}{m}\).
Vậy áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt, ta có
\(x'.\dfrac{1}{{1 - n}}.\dfrac{1}{m} = 1\,\, \Leftrightarrow \,\,x' = m(1 - n).\)
Ba đường thẳng \(AN, BP, CM\) đồng quy khi và chỉ khi \(I\) trùng \(I’ \) hay \(x=x’\), có nghĩa là:
\(\dfrac{{n - 1}}{{np}} = m(1 - n)\,\, \Leftrightarrow \,\,mnp = 1\).
+) Xét trường hợp \(AN\) và \(BP\) song song (h.10).
Ta có
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {CN} - \overrightarrow {CA} = {1 \over {1 - n}}\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} \,; \cr & \overrightarrow {BP} = \overrightarrow {CP} - \overrightarrow {CB} = {p \over {p - 1}}\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} \,; \cr & \overrightarrow {CM} = {1 \over {1 - m}}\overrightarrow {CA} - {m \over {1 - m}}\overrightarrow {CB} . \cr} \)
Do \(AN//BP\) nên
\(\dfrac{1}{{1 - n}}:( - 1)\, = - 1:\dfrac{p}{{p - 1}}\)
\(\Leftrightarrow \,\,\dfrac{1}{{1 - n}} = \dfrac{{p - 1}}{p}\)
\(\Leftrightarrow \,\,p = (1 - n)(p - 1)\)
\(\Leftrightarrow \,\,\,np = n - 1.\) (*)
Khi đó điều kiện cần và đủ để AN, BP, CM song song với nhau là \(\overrightarrow {CM} \) cùng phương với \(\overrightarrow {AN} \).
Vì \(\overrightarrow {CM} = \dfrac{{\overrightarrow {CA} - m\overrightarrow {CB} }}{{1 - m}}\) nên \(\overrightarrow {CM} \) cùng phương với \(\overrightarrow {AN} \) khi và chỉ khi
\(\dfrac{1}{{1 - n}}:( - m) = - 1\)
\(\Leftrightarrow \,\,m(n - 1) = - 1.\) (**)
Từ (*) và (**) ta suy ra \(mnp = -1\).
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 20 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 21 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 22 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 23 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 24 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
