Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 4: Tích của một vec tơ với một số

Bài 29 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài 29 trang 10 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng AM, AC, BC lần lượt tại D, E, F...

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) và trung tuyến \(AM\). Một đường  thẳng song song với \(AB\) cắt các đoạn thẳng \(AM, AC, BC\) lần lượt tại \(D, E, F\). Một điểm \(G\) nằm trên cạnh \(AB\) sao cho \(FG//AC\). Chứng minh rằng hai tam giác \(ADE\) và \(BFG\) có diện tích bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Ta đặt \(\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow a \,\,;\,\,\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow b \). \(\overrightarrow {CM}  = \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}\).

Vì E nằm trên đoạn thẳng \(AC\) nên có số k sao cho \(\overrightarrow {CE}  = k\overrightarrow {CA}  = k\overrightarrow a \), với \(0<k<1\).

Khi đó \(\overrightarrow {CF}  = k\overrightarrow {CB}  = k\overrightarrow b \).

Điểm \(D\) nằm trên \(AM\) và \(EF\) nên có hai số \(x, y\) sao cho

\(\overrightarrow {CD}  = x\overrightarrow {CA}  + (1 - x)\overrightarrow {CM}\)

\(  = y\overrightarrow {CE}  + (1 - y)\overrightarrow {CF} \)

hay \(x\overrightarrow a  + \dfrac{{1 - x}}{2}\overrightarrow b  = ky\overrightarrow a  + k(1 - y)\overrightarrow b .\)

Vì hai vec tơ \(\overrightarrow a \,,\,\,\overrightarrow b \) không cùng phương nên \(x = ky\,,\,\,\dfrac{{1 - x}}{2} = k(1 - y)\).

Suy ra \(x=2k-1\), do đó \(\overrightarrow {CD}  = (2k - 1)\overrightarrow a  + (1 - k)\overrightarrow b \).

Ta có \(\overrightarrow {ED}  = \overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {CE}\)

\(= (2k - 1)\overrightarrow a  + (1 - k)\overrightarrow b  - k\overrightarrow a\)

\(  = (1 - k)(\overrightarrow b  - \overrightarrow a ) = (1 - k)\overrightarrow {AB} \)

Vì \(\overrightarrow {CF}  = k\overrightarrow {CB} \) nên \(\overrightarrow {AG}  = k\overrightarrow {AB} \) hay \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BG}  = k\overrightarrow {AB} \), suy ra \((1 - k)\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {GB} \).

Do đó ED=GB.

Hai tam giác ADE và BFG có các cạnh đáy ED và GB bằng nhau, chiều cao bằng nhau (bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song) nên có diện tích bằng nhau.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store