Bài 29 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao


Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) và trung tuyến \(AM\). Một đường  thẳng song song với \(AB\) cắt các đoạn thẳng \(AM, AC, BC\) lần lượt tại \(D, E, F\). Một điểm \(G\) nằm trên cạnh \(AB\) sao cho \(FG//AC\). Chứng minh rằng hai tam giác \(ADE\) và \(BFG\) có diện tích bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Ta đặt \(\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow a \,\,;\,\,\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow b \). \(\overrightarrow {CM}  = \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}\).

Vì E nằm trên đoạn thẳng \(AC\) nên có số k sao cho \(\overrightarrow {CE}  = k\overrightarrow {CA}  = k\overrightarrow a \), với \(0<k<1\).

Khi đó \(\overrightarrow {CF}  = k\overrightarrow {CB}  = k\overrightarrow b \).

Điểm \(D\) nằm trên \(AM\) và \(EF\) nên có hai số \(x, y\) sao cho

\(\overrightarrow {CD}  = x\overrightarrow {CA}  + (1 - x)\overrightarrow {CM}\)

\(  = y\overrightarrow {CE}  + (1 - y)\overrightarrow {CF} \)

hay \(x\overrightarrow a  + \dfrac{{1 - x}}{2}\overrightarrow b  = ky\overrightarrow a  + k(1 - y)\overrightarrow b .\)

Vì hai vec tơ \(\overrightarrow a \,,\,\,\overrightarrow b \) không cùng phương nên \(x = ky\,,\,\,\dfrac{{1 - x}}{2} = k(1 - y)\).

Suy ra \(x=2k-1\), do đó \(\overrightarrow {CD}  = (2k - 1)\overrightarrow a  + (1 - k)\overrightarrow b \).

Ta có \(\overrightarrow {ED}  = \overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {CE}\)

\(= (2k - 1)\overrightarrow a  + (1 - k)\overrightarrow b  - k\overrightarrow a\)

\(  = (1 - k)(\overrightarrow b  - \overrightarrow a ) = (1 - k)\overrightarrow {AB} \)

Vì \(\overrightarrow {CF}  = k\overrightarrow {CB} \) nên \(\overrightarrow {AG}  = k\overrightarrow {AB} \) hay \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BG}  = k\overrightarrow {AB} \), suy ra \((1 - k)\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {GB} \).

Do đó ED=GB.

Hai tam giác ADE và BFG có các cạnh đáy ED và GB bằng nhau, chiều cao bằng nhau (bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song) nên có diện tích bằng nhau.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.