Bài 21 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao


Đề bài

Cho tam giác \(ABC,\) \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\). Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua \(I\), lần lượt cắt hai đường thẳng \(CA\) và \(CB\) tại \(A’\) và \(B’\). Chứng minh rằng giao điểm \(M\) của \(AB’\) và \(A’B\) nằm trên một đường thẳng cố định.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng kết quả bài tập 19 trang 8 SBT Hình học nâng cao 10:

Cho tam giác \(ABC\). Các điểm \(M, N, P\) lần lượt chia các đoạn thẳng \(AB, BC, CA\) theo các tỉ số lần lượt là \(m, n, p\) (đều khác 1). Khi đó:

\(AN, CM, BP\) đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi \(mnp=-1\) (Định lí Xê-va).

Lời giải chi tiết

Đặt \(\overrightarrow {CB}  = m\overrightarrow {CB'} \,,\,\,\overrightarrow {MB'}  = n\overrightarrow {MA} \).

Xét tam giác \(ABB’\) với ba đường đồng quy là \(AC, BM, B’I\) ( đồng quy tại \(A’\)).

Vì \(\overrightarrow {IA}  =  - \overrightarrow {IB} \) nên theo định lí Xê-va, ta có \(– mn = -1\) hay \(mn=1\).

Từ \(\overrightarrow {MB'}  = n\overrightarrow {MA} \) ta suy ra \(m\overrightarrow {MB'}  = mn\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MA} \).

Vậy ta có \(\overrightarrow {CB}  = m\overrightarrow {CB'} \) và \(\overrightarrow {MA}  = m\overrightarrow {MB'} \) điều này chứng tỏ rằng \(CM//AB\).

Vậy điểm \(M\) luôn nằm trên đường thẳng cố định đi qua \(C\) và song song với \(AB\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.