Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 4: Tích của một vec tơ với một số

Bài 20 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài 20 trang 8 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC và các điểm A_1, B_1, C_1 lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB...

Đề bài

Cho tam giác ABC và các điểm \(A_1, B_1, C_1\) lần lượt nằm trên các đường thẳng \(BC, CA, AB\). Gọi \(A_2, B_2, C_2\) lần lượt là các điểm đối xứng với \(A_1, B_1, C_1\) qua trung điểm  của \(BC, CA, AB\). Chứng minh rằng

a) Nếu ba điểm \(A_1, B_1, C_1\) thẳng hàng thì ba điểm \(A_2, B_2, C_2\) cũng thế;

b) Nếu ba đường thẳng \(AA_1, BB_1, CC_1\) đồng quy hoặc song song thì ba đường thẳng \(AA_2, BB_2, CC_2\) cũng thế.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng kết quả bài tập 19 trang 8 SBT Hình học nâng cao 10:

Cho tam giác \(ABC\). Các điểm \(M, N, P\) lần lượt chia các đoạn thẳng \(AB, BC, CA\) theo các tỉ số lần lượt là \(m, n, p\) (đều khác 1). Khi đó,

a) \(M, N, P\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(mnp=1\) (Định lí Mê-nê-la-uýt);

b) \(AN, CM, BP\) đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi \(mnp=-1\) (Định lí Xê-va).

Lời giải chi tiết

Gọi \(k, l, m\) là các số sao cho \(\overrightarrow {{A_1}B}  = k\overrightarrow {{A_1}C};\) \(\overrightarrow {{B_1}C}  = l\overrightarrow {{B_1}A};\) \(\overrightarrow {{C_1}A}  = m\overrightarrow {{C_1}B} \).

Gọi D là trung điểm của BC ta có:

\({A_2}C = {A_2}D + DC\) \( = {A_1}D + DB = {A_1}B\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {A_2}C = {A_1}B\\
\Rightarrow {A_2}C - BC = {A_1}B - BC\\
\Rightarrow {A_1}C = {A_2}B
\end{array}\)

Mà \(\overrightarrow {{A_1}B}  = k\overrightarrow {{A_1}C}  \Rightarrow \overrightarrow {{A_2}C}  = k\overrightarrow {{A_2}B} \)

Tương tự \(\overrightarrow {{B_2}A}  = l\overrightarrow {{B_2}C} ,\overrightarrow {{C_2}B}  = m\overrightarrow {{C_2}A} \)

a) Ba điểm \({A_1},{B_1},{C_1}\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow klm = 1\)

\( \Leftrightarrow \) ba điểm \({A_2},{B_2},{C_2}\) thẳng hàng (định lí Mê-nê-la-uýt)

b) Ba đường thẳng \(A{A_1},B{B_1},C{C_1}\) đồng quy hoặc song song\( \Leftrightarrow klm = -1\)

\( \Leftrightarrow \) Ba đường thẳng \(A{A_2},B{B_2},C{C_2}\) đồng quy hoặc song song (định lí Xê-va)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store