Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học Bài 2. Phương trình mặt phẳng

Lý thuyết phương trình mặt phẳng


1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

* Cho mặt phẳng \((P)\) , vectơ  \(\overrightarrow{n}\neq \overrightarrow{0}\) mà giá của nó vuông góc với mặt phẳng \((P)\) thì \(\overrightarrow{n}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

* Cho mặt phẳng \((P)\) , cặp vectơ  \(\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}\) không cùng phương mà giá của chúng là hai đường thẳng song song hay nằm trong mặt phẳng \((P)\) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((P)\). Khi đó vectơ \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right ]\). là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

* Nếu \(\overrightarrow{a}\) \( = \;\left( {{a_1};{\rm{ }}\;{a_{2\;}};{\rm{ }}{a_3}} \right)\), \(\overrightarrow{b}\) \( = \;\left( {{b_1}\;;{\rm{ }}{b_2}\;;{\rm{ }}{b_3}} \right)\) thì :

         \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right ]=(\begin{vmatrix} a_{2}&a_{3} \\ b_{2}& b_{3} \end{vmatrix};\begin{vmatrix} a_{3} & a_{1}\\ b_{3}&b_{1} \end{vmatrix};\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2}\\ b_{1}& b_{2} \end{vmatrix})\)

               \( = \left( {{a_2}{b_3}\;-{\rm{ }}{a_3}{b_{2\;}};{\rm{ }}{a_3}{b_1}\;-{\rm{ }}{a_1}{b_3}\;;{\rm{ }}{a_1}{b_2}\;-{\rm{ }}{a_2}{b_1}} \right).\)

* Mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó, hay một điểm thuộc mặt phẳng và cặp vectơ chỉ phương của nó.

2. Phương trình mặt phẳng.

* Mặt phẳng  \((P)\) qua điểm \({M_{0\;}}\left( {{x_0}\;;{\rm{ }}{y_{0\;}};{\rm{ }}{z_0}} \right){\rm{ }}\;\) và nhận \(\overrightarrow{n}\) \(\left( {A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình có dạng: \(A\left( {x\;-\;{x_0}} \right) + B\left( {y-{y_0}} \right) + C\left( {z-{z_0}} \right) = 0\)

* Mọi mặt phẳng trong không gian có phương trình tổng quát có dạng:

\(\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;Ax{\rm{ }} + {\rm{ }}By + Cz + D = 0{\rm{ }}\;{\rm{ }} \text {ở đó }\;{A^2} + {\rm{ }}{B^2}\; + {C^{2\;}} > 0.\) Khi đó vectơ \(\vec n\,(A;B;C)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

* Mặt phẳng đi qua ba điểm \(M\left( {a;0;0} \right),{\rm{ }}N\left( {0;b;0} \right),{\rm{ }}C\left( {0;0;c} \right)\) ở đó \(abc\; \ne 0\) có phương trình :\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\). Phương trình này còn được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

 Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) có phương trình :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {{P_1}} \right):\;{A_1}x + {B_1}y\; + {C_1}z + {D_1}\; = 0;}\\
{\left( {{P_2}} \right):\;{A_2}x + {B_2}y\; + {C_2}z + {D_2}\; = 0.}
\end{array}\)

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} \;(A1;B1;C1) \bot (P1)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \;(A2;B2;C2) \bot (P2)\). Khi đó:

 \(({P_1})\; \bot \;({P_2})\)  ⇔ \(\overrightarrow{n_{1}}\perp \overrightarrow{n_{2}}\) ⇔ \(\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}}\)  \(\; \Leftrightarrow {\rm{ }}{A_1}{A_2}\; + {\rm{ }}{B_1}{B_2}\; + {\rm{ }}{C_1}{C_2}\; = {\rm{ }}0\)

  \(\left( {{P_1}} \right)\;//\;\left( {{P_2}} \right)\;\; \Leftrightarrow \;\) \(\overrightarrow{n_{1}}=k.\overrightarrow{n_{2}}\) và  \({D_1}\; \ne {\rm{ }}k.{D_2}\;\left( {k\; \ne {\rm{ }}0} \right).\)

  \(\left( {{P_1}} \right) \equiv \;\left( {{P_2}} \right)\;\; \Leftrightarrow \;\) \(\overrightarrow{n_{1}}=k.\overrightarrow{n_{2}}\)  và  \(\;{D_1}\; = {\rm{ }}k.{D_{2.}}\)

  \(\left( {{P_1}} \right) \text {cắt} \left( {{P_2}} \right)\;\; \Leftrightarrow \;\) \(\overrightarrow{n_{1}}\neq k.\overrightarrow{n_{2}}\) (nghĩa là \(\overrightarrow{n_{1}}\) và \(\overrightarrow{n_{2}}\) không cùng phương).

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt phẳng \((P)\) có phương trình:

             \(Ax + By + Cz +D = 0\) và điểm \({M_{0\;}}\left( {{x_0}\;;{\rm{ }}{y_{0\;}};{\rm{ }}{z_0}} \right).\) .Khoảng cách từ M0 đến \((P)\) được cho bởi công thức:

\(d({M_0},P) = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)

5. Góc giữa hai  mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\)  có phương trình :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {{P_1}} \right):\;{A_1}x + {B_1}y\; + {C_1}z + {D_1}\; = 0;}\\
{\left( {{P_2}} \right):\;{A_2}x + {B_2}y\; + {C_2}z + {D_2}\; = 0.}
\end{array}\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) thì \(0\; \le \;\varphi {\rm{ }} \le {\rm{ }}{90^{0\;}}\) và :

\(cos\varphi =|cos\widehat{\left (\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} \right )}|=\dfrac{|A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}.\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 20 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store