Giải bài 5 trang 80 SGK Hình học 12


Viết phương trình mặt phẳng.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tứ diện có các đỉnh là \(A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6).\)

LG a

a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD)\)

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(3\) điểm \(A, \, \, B\) và \(C\) có VTPT:  \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} } \right].\)

+) Phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M(x_0;\, \, y_0;\,\, z_0)\) và có VTPT  \(\overrightarrow n  = \left( {a;\;b;\;c} \right)\) có dạng:  \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \((ADC)\) đi qua \(A(5 ; 1 ; 3)\) và chứa giá của các vectơ \(\overrightarrow{AC}(0 ; -1 ; 1)\) và \(\overrightarrow{AD}(-1 ; -1 ; 3)\).

Ta có:: \(\left [\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right ]\) \( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\3&{ - 1}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)\) \(= (-2 ; -1 ; -1).\)

Chọn \(\overrightarrow {{n_{\left( {ACD} \right)}}} =(2;1;1)\).

Phương trình \((ACD)\) có dạng: \(2(x - 5) + (y - 1) + (z - 3) = 0\) hay \(2x + y + z - 14 = 0\).

Tương tự ta có :\(\overrightarrow{BC}(4 ; -6 ; 2)\), \(\overrightarrow{BD}(3 ; -6 ; 4)\) và

\(\left (\begin{vmatrix} -6 & 2\\ -6 & 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 &4 \\ 4& 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 4 & -6\\ 3& -6 \end{vmatrix} \right )\)

\(= (-12 ; -10 ; -6)=-2(6; 5; 3).\)

Chọn \(\overrightarrow{n_{(BCD)}}=(6;5;3)\) là VTPT của mặt phẳng \((BCD)\).

Phương trình mặt phẳng \((BCD)\) có dạng: \(6(x - 1) + 5(y - 6) +3(z - 2) = 0\) hay \(6x + 5y + 3z - 42 = 0\).

LG b

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((α)\) đi qua cạnh \(AB\) và song song với cạnh \(CD\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(( α )\) qua cạnh \(AB\) và song song với \(CD\) thì \(( α )\) qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow{AB} (-4 ; 5 ; -1)\) , \(\overrightarrow{CD}(-1 ; 0 ; 2)\) làm vectơ chỉ phương.

VTPT của  mặt phẳng \((α): \overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right ] \) \(= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 1}\\0&2\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 4}\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&5\\{ - 1}&0\end{array}} \right|} \right)\) \(= (10 ; 9 ; 5).\)

Phương trình mặt phẳng \(( α )\) có dạng : \(10\left( {x - 5} \right) + 9\left( {y - 1} \right) + 5\left( {z - 3} \right) = 0\) hay \(10x + 9y + 5z - 74 = 0\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 25 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2. Phương trình mặt phẳng

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.