Bài 3.42 trang 132 SBT hình học 12


Giải bài 3.42 trang 132 sách bài tập hình học 12. Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’...

Đề bài

Cho hai đường thẳng: \(d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{z}{3}\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t'}\\{y = 3 - 2t'}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)

Lập phương trình đường vuông góc chung của \(d\) và \(d’\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tham số hóa tọa độ hai điểm \(M,M'\) lần lượt thuộc hai đường thẳng \(d,d'\).

- Sử dụng điều kiện \(\overrightarrow {MM'} \) là đường vuông góc chung của \(d,d'\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow {{u_{d'}}}  = 0\end{array} \right.\).

- Tìm tọa độ của \(M,M'\) và viết phương trình đường thẳng \(MM'\).

Lời giải chi tiết

Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 3t}\end{array}} \right.\)

Vecto chỉ phương của hai đường thẳng \(d\) và \(d’\) lần lượt là \(\overrightarrow a  = ( - 1;2;3),\overrightarrow {a'}  = (1; - 2;0)\).

Xét điểm M(1 – t; 2 + 2t; 3t) trên d và điểm M’(1 + t’; 3 – 2t’ ; 1) trên d’ ta có  \(\overrightarrow {MM'}  = (t' + t;1 - 2t' - 2t;1 - 3t)\).

MM’ là đường vuông góc chung của d và d’.

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow a  = 0}\\{\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow {a'}  = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - t' - t + 2 - 4t' - 4t + 3 - 9t = 0\\t' + t - 2 + 4t' + 4t = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5t' + 14t = 5}\\{5t' + 5t = 2}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{1}{3}}\\{t' = \dfrac{1}{{15}}}\end{array}} \right.\)

Thay giá trị của t và t’ vào ta được tọa độ M và M’ là \(M\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{8}{3};1} \right),M'\left( {\dfrac{{16}}{{15}};\dfrac{{43}}{{15}};1} \right)\)

Do đó \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {\dfrac{6}{{15}};\dfrac{3}{{15}};0} \right)\)

Suy ra đường vuông góc chung \(\Delta \) của d và d’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = (2;1;0)\)

Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{2}{3} + 2t}\\{y = \dfrac{8}{3} + t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài