Bài 3.40 trang 131 SBT hình học 12


Giải bài 3.40 trang 131 sách bài tập hình học 12. Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng ...

Đề bài

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}\)

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng \(\Delta \);

b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng \(\Delta \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tham số hóa tọa độ hình chiếu của M trên \(\Delta \)

Lập phương trình tìm tham số, sử dụng điều kiện \(\overrightarrow {MH}  \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \)

b) \(M'\) đối xứng với \(M\) qua \(\Delta \) nếu \(H\) là trung điểm của \(MM'\).

Lời giải chi tiết

a) Phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 1 - t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\)

Xét điểm  \(H(1 + 2t; - 1 - t;2t) \in \Delta \)

Ta có \(\overrightarrow {MH}  = (2t - 1; - t;2t - 1)\), \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = (2; - 1;2)\)

H là hình chiếu vuông góc của M trên \(\Delta  \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0\)

\( \Leftrightarrow 2(2t - 1) + t + 2(2t - 1) = 0\)\( \Leftrightarrow t = \dfrac{4}{9}\)

Ta suy ra tọa độ điểm  \(H\left( {\dfrac{{17}}{9};\dfrac{{ - 13}}{9};\dfrac{8}{9}} \right)\)

Cách khác:

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \).

Khi đó \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {2; - 1;2} \right)\) là VTPT của \(\left( \alpha  \right)\)

Mà \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(M\left( {2; - 1;1} \right)\) nên:

\(\left( \alpha  \right):2\left( {x - 2} \right) - \left( {y + 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\) hay \(2x - y + 2z - 7 = 0\)

\(H = \Delta  \cap \left( \alpha  \right)\) nên tọa độ điểm \(H\) thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 1 - t\\z = 2t\\2x - y + 2z - 7 = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2\left( {1 + 2t} \right) - \left( { - 1 - t} \right) + 2.2t - 7 = 0\)

\( \Leftrightarrow 9t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{4}{9}\)

\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{{17}}{9}; - \dfrac{{13}}{9};\dfrac{8}{9}} \right)\)

b) H là trung điểm của MM’, suy ra \({x_{M'}} + {x_M} = 2{x_H}\)

Suy ra \({x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = \dfrac{{34}}{9} - 2 = \dfrac{{16}}{9}\)

Tương tự, ta được \({y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = \dfrac{{ - 26}}{9} + 1 = \dfrac{{ - 17}}{9};\)\({z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = \dfrac{{16}}{9} - 1 = \dfrac{7}{9}\)

Vậy \(M'\left( {\dfrac{{16}}{9};\dfrac{{ - 17}}{9};\dfrac{7}{9}} \right)\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài