
Đề bài
Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}\)
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng \(\Delta \);
b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng \(\Delta \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tham số hóa tọa độ hình chiếu của M trên \(\Delta \)
Lập phương trình tìm tham số, sử dụng điều kiện \(\overrightarrow {MH} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \)
b) \(M'\) đối xứng với \(M\) qua \(\Delta \) nếu \(H\) là trung điểm của \(MM'\).
Lời giải chi tiết
a) Phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\)
Xét điểm \(H(1 + 2t; - 1 - t;2t) \in \Delta \)
Ta có \(\overrightarrow {MH} = (2t - 1; - t;2t - 1)\), \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = (2; - 1;2)\)
H là hình chiếu vuông góc của M trên \(\Delta \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\)
\( \Leftrightarrow 2(2t - 1) + t + 2(2t - 1) = 0\)\( \Leftrightarrow t = \dfrac{4}{9}\)
Ta suy ra tọa độ điểm \(H\left( {\dfrac{{17}}{9};\dfrac{{ - 13}}{9};\dfrac{8}{9}} \right)\)
Cách khác:
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \).
Khi đó \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2; - 1;2} \right)\) là VTPT của \(\left( \alpha \right)\)
Mà \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {2; - 1;1} \right)\) nên:
\(\left( \alpha \right):2\left( {x - 2} \right) - \left( {y + 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\) hay \(2x - y + 2z - 7 = 0\)
\(H = \Delta \cap \left( \alpha \right)\) nên tọa độ điểm \(H\) thỏa mãn hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 - t\\z = 2t\\2x - y + 2z - 7 = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2\left( {1 + 2t} \right) - \left( { - 1 - t} \right) + 2.2t - 7 = 0\)
\( \Leftrightarrow 9t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{4}{9}\)
\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{{17}}{9}; - \dfrac{{13}}{9};\dfrac{8}{9}} \right)\)
b) H là trung điểm của MM’, suy ra \({x_{M'}} + {x_M} = 2{x_H}\)
Suy ra \({x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = \dfrac{{34}}{9} - 2 = \dfrac{{16}}{9}\)
Tương tự, ta được \({y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = \dfrac{{ - 26}}{9} + 1 = \dfrac{{ - 17}}{9};\)\({z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = \dfrac{{16}}{9} - 1 = \dfrac{7}{9}\)
Vậy \(M'\left( {\dfrac{{16}}{9};\dfrac{{ - 17}}{9};\dfrac{7}{9}} \right)\).
Loigiaihay.com
Giải bài 3.41 trang 132 sách bài tập hình học 12. Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng: 2x – y + 2z + 12 = 0...
Giải bài 3.42 trang 132 sách bài tập hình học 12. Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’...
Giải bài 3.43 trang 132 sách bài tập hình học 12. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bằng phương pháp tọa độ hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và DD’.
Giải bài 3.44 trang 132 sách bài tập hình học 12. Cho mặt phẳng : 2x + y +z – 1 = 0 và đường thẳng d. Gọi M là giao điểm của d và , hãy viết phương trình của đường thẳng đi qua M vuông góc với d và nằm trong ...
Giải bài 3.45 trang 132 sách bài tập hình học 12. Cho hai đường thẳng...
Giải bài 3.39 trang 131 sách bài tập hình học 12. Cho hai đường thẳng...
Giải bài 3.38 trang 131 sách bài tập hình học 12. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:...
Giải bài 3.37 trang 131 sách bài tập hình học 12. Cho đường thẳng và mặt phẳng: 2x – 2y + z + 3 = 0...
Giải bài 3.36 trang 131 sách bài tập hình học 12. Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng...
Giải bài 3.35 trang 130 sách bài tập hình học 12. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng trong các trường hợp sau...
Giải bài 3.34 trang 130 sách bài tập hình học 12. Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:...
Giải bài 3.33 trang 130 sách bài tập hình học 12. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:...
Giải bài 3.31 trang 130 sách bài tập hình học 12. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ trong các trường hợp sau:...
>> Xem thêm
Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Họ và tên:
Email / SĐT: