Bài 3.38 trang 131 SBT hình học 12


Giải bài 3.38 trang 131 sách bài tập hình học 12. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:...

Đề bài

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) trong các trường hợp sau:

a) \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y =  - 1 - t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t'}\\{y = 2 + 3t'}\\{z = 3t'}\end{array}} \right.\)

b) \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 4 - t}\\{z =  - 1 + 2t}\end{array}} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t'}\\{y = 2 - 3t'}\\{z =  - 3t'}\end{array}} \right.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng còn lại.

- Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, sử dụng công thức:

\(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = d\left( {\Delta ,\left( \alpha  \right)} \right)\) \( = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

ở đó \(\Delta ' \subset \left( \alpha  \right),\Delta //\left( \alpha  \right)\) và \(M \in \Delta \).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta '\).

Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là:  \(\overrightarrow u  = (1; - 1;0)\)  và \(\overrightarrow u ' = ( - 1;1;1)\).

Suy ra  \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow u } \right] = \left( { - 1; - 1;0} \right)\)

\((\alpha )\) đi qua điểm M1(1; -1; 1) thuộc \(\Delta \) và có vecto pháp tuyến:  \(\overrightarrow {{n_{\alpha '}}}  = (1;1;0)\)

Vậy phưong trình của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng \(x – 1 + y + 1=0 \) hay \(x + y = 0\)

Ta có: M2((2; 2; 0) thuộc đường thẳng \(\Delta '\)

\(d(\Delta ,\Delta ') = d({M_2},(\alpha ))\)\( = \dfrac{{|2 + 2|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = 2\sqrt 2 \)

b) Hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) có phương trình là:

\(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 4 - t}\\{z =  - 1 + 2t}\end{array}} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t'}\\{y = 2 - 3t'}\\{z =  - 3t'}\end{array}} \right.\)

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta '\) là 9x + 5y – 2z – 22 = 0

Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên \(\Delta '\).

Ta có \(d(\Delta ,\Delta ') = d(M',(\alpha ))\)\( = \dfrac{{|5.(2) - 22|}}{{\sqrt {81 + 25 + 4} }} = \dfrac{{12}}{{\sqrt {110} }}\).

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) là \(\dfrac{{12}}{{\sqrt {110} }}\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài