Bài 2.50 trang 84 SBT hình học 11


Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\). Tìm vị trí điểm \(M\) trong không gian sao cho: \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}\) đạt giá trị cực tiểu.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất:

Cho \(I\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\). Với điểm \(M\) bất kì ta luôn có:

\(MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{1}{2}AB^2\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(\displaystyle E, F\) lần lượt là trung điểm của \(\displaystyle AB\) và \(\displaystyle CD\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
M{A^2} + M{B^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2}\\
= {\left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EB} } \right)^2}\\
= {\overrightarrow {ME} ^2} + 2\overrightarrow {ME} .\overrightarrow {EA} + {\overrightarrow {EA} ^2}\\
+ {\overrightarrow {ME} ^2} + 2\overrightarrow {ME} .\overrightarrow {EB} + {\overrightarrow {EB} ^2}\\
= 2M{E^2} + 2\overrightarrow {ME} \left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} } \right) + E{A^2} + E{B^2}\\
= 2M{E^2} + 0 + \frac{1}{4}A{B^2} + \frac{1}{4}A{B^2}\\
= 2M{E^2} + \frac{1}{2}A{B^2}
\end{array}\)

Do đó, \(\displaystyle M{A^2} + M{B^2} = 2M{E^2} + {1 \over 2}A{B^2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\displaystyle M{C^2} + M{D^2} = 2M{F^2} + {1 \over 2}C{{\rm{D}}^2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Cộng (1) và (2) ta có:

\(\displaystyle M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}\)

\(\displaystyle = 2\left( {M{E^2} + M{F^2}} \right) + {1 \over 2}\left( {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}\,\,} \right)\,\,\)

Gọi \(\displaystyle J\) là trung điểm của \(\displaystyle EF\), ta có:

\(\displaystyle \left( {M{E^2} + M{F^2}} \right) = 2M{J^2}\, + {1 \over 2}E{F^2}\)

Khi đó:

\(\displaystyle \eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2} \cr 
& = 2\left( {2M{J^2}\, + {1 \over 2}E{F^2}} \right) + {1 \over 2}\left( {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right) \cr 
&  = 4M{J^2} + E{F^2} + \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + C{D^2}} \right)\cr &\ge E{F^2} + {1 \over 2}\left( {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right) \cr} \)

Vậy \(\displaystyle M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(MJ = 0\) hay \(\displaystyle M \equiv J\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 2.49 trang 83 SBT hình học 11

    Giải bài 2.49 trang 83 sách bài tập hình học 11. Cho tứ diện ABCD. Trên ba cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B’, C’, D’ sao cho đường thẳng B’C’cắt đường thẳng BC tại K, đường thẳng C’D’ cắt đường thẳng CD tại J, đường thẳng D’B’ cắt đường thẳng DB tại I...

  • Bài 2.48 trang 83 SBT hình học 11

    Giải bài 2.48 trang 83 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD. Gọi G1 và G1 lần lượt là trọng tâm của các tam giác SBC và SCD...

  • Bài 2.47 trang 83 SBT hình học 11

    Giải bài 2.47 trang 83 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (có đáy nhỏ BC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SD, O là giao điểm của AC và DM...

  • Bài 2.46 trang 83 SBT hình học 11

    Giải bài 2.46 trang 83 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của SC và M là một điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua C’M và song song với BC...

  • Bài 2.45 trang 83 SBT hình học 11

    Giải bài 2.45 trang 83 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ( đáy lớn AD). Gọi O la giao điểm của AC và BD, I và J lần lượt là trung điểm của SB và SC...

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.