Câu 56 trang 61 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao


Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi P, Q, R, S lần lượt là tâm các mặt bên ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’.

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi P, Q, R, S lần lượt là tâm các mặt bên ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’.

a) Chứng minh rằng RQ song song với (ABCD), (PQRS) song song (ABCD).

b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (AQR).

c) Gọi M là giao điểm của cạnh CC’ với mp(AQR). Tính tỉ số \({{MC} \over {MC'}}\)

Lời giải chi tiết

a) Dễ thấy QR là đường trung bình của tam giác C’BD nên QR // BD. Mà BD nằm trêm mp(ABCD), suy ra QR // (ABCD) (1)

Lí luận tương tự ta có:

PQ // (ABCD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (PQRS) // (ABCD).

b) Theo câu a), ta có QR // (ABCD) suy ra mặt phẳng (AQR) cắt mp(ABCD) theo một giao tuyến song song với BD. Giao tuyến này cắt CD tại N. Nối N với R cắt DD’ và CC’ lần lượt tại E và M. Nối M với Q cắt BB’ tại F. Dễ thấy thiết diện là hình bình hành AEMF.

c) Do AN // BD suy ra D là trung điểm của CN, dễ thấy:

\(\Delta EDR = \Delta MC'R \Rightarrow DE = MC'\)

Mặt khác DE // CM suy ra: 

\({{DE} \over {CM}} = {{ND} \over {NC}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{MC'} \over {MC}} = {1 \over 2}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.