Câu 54 trang 60 - 61 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao


Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’.

Đề bài

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’.

a) Chứng minh rằng: IJ // (ABB’A’), JK // (ACC’A’), IK // (BCC'B’).

b) Ba đường thẳng AJ, CK, BI đồng quy tại một điểm O.

c) Mặt phẳng (IJK) song song với mặt đáy của hình lăng trụ.

d) Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng ba điểm G, O, G’ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

(h.107)

a) Ta có IJ là đường trung bình của tam giác C’AB, nên IJ // AB. Mà AB nằm trên mp(ABB’A’). Vậy IJ // (ABB’A’).

Chứng minh tương tự, ta có:

JK // (ACC’A’), IK // (BCC’B’)

b) Xét ba mặt phẳng (C’AB), (A’BC), (B’AC). Ta có:

\(\eqalign{
& \left( {C'AB} \right) \cap \left( {A'BC} \right) = BI \cr 
& \left( {C'AB} \right) \cap \left( {B'AC} \right) = {\rm{AJ}} \cr 
& \left( {B'AC} \right) \cap \left( {A'BC} \right) = CK \cr} \)

Vậy theo định lí giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng BI, AJ, CK đồng quy tại một điểm.

c) Theo câu a), ta có

\(\left. \matrix{
{\rm{IJ}}//AB \hfill \cr 
JK//AC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left( {{\rm{IJ}}K} \right)//\left( {ABC} \right)\)

d) Dễ thấy O là trọng tâm tam giác C’AB. Gọi M là giao điểm của C’O với AB thì M là trung điểm của AB. Vậy ba điểm M, G, C thẳng hàng.

Vì O và G lần lượt là trọng tâm của hai tam giác C’AB và CAB nên ta có:

\({{MO} \over {MC'}} = {{MG} \over {MC}} = {1 \over 3} \Rightarrow OG//CC'\,\,(1)\)

Chứng minh tương tự OG’ // CC’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm O, G, G’ thẳng hàng.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 4: Hai mặt phẳng song song

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài