Câu 54 trang 60 - 61 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’.

a) Chứng minh rằng: IJ // (ABB’A’), JK // (ACC’A’), IK // (BCC'B’).

b) Ba đường thẳng AJ, CK, BI đồng quy tại một điểm O.

c) Mặt phẳng (IJK) song song với mặt đáy của hình lăng trụ.

d) Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng ba điểm G, O, G’ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

(h.107)

a) Ta có IJ là đường trung bình của tam giác C’AB, nên IJ // AB. Mà AB nằm trên mp(ABB’A’). Vậy IJ // (ABB’A’).

Chứng minh tương tự, ta có:

JK // (ACC’A’), IK // (BCC’B’)

b) Xét ba mặt phẳng (C’AB), (A’BC), (B’AC). Ta có:

\(\eqalign{
& \left( {C'AB} \right) \cap \left( {A'BC} \right) = BI \cr 
& \left( {C'AB} \right) \cap \left( {B'AC} \right) = {\rm{AJ}} \cr 
& \left( {B'AC} \right) \cap \left( {A'BC} \right) = CK \cr} \)

Vậy theo định lí giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng BI, AJ, CK đồng quy tại một điểm.

c) Theo câu a), ta có

\(\left. \matrix{
{\rm{IJ}}//AB \hfill \cr 
JK//AC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left( {{\rm{IJ}}K} \right)//\left( {ABC} \right)\)

d) Dễ thấy O là trọng tâm tam giác C’AB. Gọi M là giao điểm của C’O với AB thì M là trung điểm của AB. Vậy ba điểm M, G, C thẳng hàng.

Vì O và G lần lượt là trọng tâm của hai tam giác C’AB và CAB nên ta có:

\({{MO} \over {MC'}} = {{MG} \over {MC}} = {1 \over 3} \Rightarrow OG//CC'\,\,(1)\)

Chứng minh tương tự OG’ // CC’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm O, G, G’ thẳng hàng.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.