Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Câu 51 trang 60 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao


Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt bên đều là hình vuông cạnh bằng a.

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh bằng a. Các điểm M, N lần lượt nằm trên AD’, DB sao cho AM = DN = x\(\left( {0 < x < a\sqrt 2 } \right)\).

a) Chứng minh rằng khi x biến thiên, đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.

b) Chứng minh rằng khi \(x = {{a\sqrt 2 } \over 3}\) thì MN // A’C.

Lời giải chi tiết

(h.104)

a) Sử dụng định lí Ta-lét

Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và song song với mp(A’D’CB) (có (P) vì AD // A’D’).

Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và song song với mp(A’D’CB. Giả sử (Q) cắt DB tại N’.

Theo định lí Ta-lét ta có:

\({{AM} \over {AD'}} = {{DN'} \over {DB}}\,\,\,\,(*)\)

Vì các mặt của hình hộp là hình vuông cạnh a nên:

\(AD' = DB = a\sqrt 2 \)

Từ (*), ta có AM = DN’

\( \Rightarrow \) DN’ = DN

\( \Rightarrow \) N’ \( \equiv \) N

\( \Rightarrow \) MN \( \subset \) (Q)

Mà (Q) // (A’D’CB) suy ra MN luôn song song với mặt phẳng cố định (A’D’CB)

Sử dụng định lí Ta-lét đảo.

Từ giả thiết ta có: \({{AM} \over {DN}} = {{MD'} \over {NB}} = {{AD'} \over {DB}}\)

Suy ra AD, MN và D’B luôn song song với một mặt phẳng (định lí Ta-lét đảo). Vậy MN luôn song song với một mặt phẳng (P), mà (P) song song với AD và D’B. Có thể chọn mặt phẳng này chính là mp(A’D’CB).

b) Gọi O là giao điểm của DB và AC. Ta có

\(DN = x = {{a\sqrt 2 } \over 3},DO = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)

\( \Rightarrow DN = {2 \over 3}DO\)

Suy ra N là trọng tâm tam giác ADC

Chứng minh tương tự, ta có M là trọng tâm tam giác A’AD. Vậy CN và A’M cắt nhau tại I là trung điểm của AD. Ta có:

\({{IM} \over {IA'}} = {{IN} \over {IC}} = {1 \over 3} \Rightarrow MN//A'C\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store