Câu 4.37 trang 139 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho dãy số xác định bởi

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 3 \hfill \cr 
2{u_{n + 1}} = {u_n} + 1 \hfill \cr} \right.\)

Gọi \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số xác định bởi

                        \({v_n} = {u_n} - 1\) với mọi n

 

LG a

Chứng minh rằng \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân lùi vô hạn.

 

Lời giải chi tiết:

Với mọi n, ta có

\({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - 1 = {{{u_n} + 1} \over 2} - 1 = {{{u_n} - 1} \over 2} = {1 \over 2}{v_n}.\)        

Vậy dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = {1 \over 2}.\)

 

LG b

 Gọi \({S_n}\) là tổng số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Tìm \(\lim {S_n}\)

 

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{
 {S_n}& = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} \cr&= \left( {{v_1} + 1} \right) + \left( {{v_2} + 1} \right) + ... + \left( {{v_n} + 1} \right) \cr 
& = \left( {{v_1} + {v_2} + ... + {v_n}} \right) + n = {s_n} + n, \cr} \)

Trong đó \({s_n}\) là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{v_n}} \right)\). Tổng của cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) là

                  \(s = \lim {s_n} = {{{v_1}} \over {1 - q}} = {2 \over {1 - {1 \over 2}}} = 4.\)

Do đó

                     \(\lim {S_n} = \lim \left( {{s_n} + n} \right) =  + \infty \).

Loigiaihay.com

 

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 3: Dãy có giới hạn vô cực

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài