Câu 4.37 trang 139 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho dãy số xác định bởi

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 3 \hfill \cr 
2{u_{n + 1}} = {u_n} + 1 \hfill \cr} \right.\)

Gọi \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số xác định bởi

                        \({v_n} = {u_n} - 1\) với mọi n

 

LG a

Chứng minh rằng \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân lùi vô hạn.

 

Lời giải chi tiết:

Với mọi n, ta có

\({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - 1 = {{{u_n} + 1} \over 2} - 1 = {{{u_n} - 1} \over 2} = {1 \over 2}{v_n}.\)        

Vậy dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = {1 \over 2}.\)

 

LG b

 Gọi \({S_n}\) là tổng số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Tìm \(\lim {S_n}\)

 

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{
 {S_n}& = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} \cr&= \left( {{v_1} + 1} \right) + \left( {{v_2} + 1} \right) + ... + \left( {{v_n} + 1} \right) \cr 
& = \left( {{v_1} + {v_2} + ... + {v_n}} \right) + n = {s_n} + n, \cr} \)

Trong đó \({s_n}\) là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{v_n}} \right)\). Tổng của cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) là

                  \(s = \lim {s_n} = {{{v_1}} \over {1 - q}} = {2 \over {1 - {1 \over 2}}} = 4.\)

Do đó

                     \(\lim {S_n} = \lim \left( {{s_n} + n} \right) =  + \infty \).

Loigiaihay.com

 

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 3: Dãy có giới hạn vô cực

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.