Câu 4.30 trang 138 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hai dãy số

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\). Chứng minh rằng

LG a

Nếu \({u_n} \le {v_n}\) với mọi n và \(\lim {u_n} = + \infty \) thì \({{\mathop{\rm limv}\nolimits} _n} = + \infty \)

Lời giải chi tiết:

Suy ra từ định nghĩa của dãy số có giới hạn \( + \infty \)

LG b

Nếu \(\lim {u_n} = L \in R\) và \(\lim \left| {{v_n}} \right| = + \infty \) thì \(\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = 0\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(\lim \left| {{v_n}} \right| = + \infty \) nên \(\lim {1 \over {{v_n}}} = 0.\) Do đó

\(\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = \lim \left( {{u_n}.{1 \over {{v_n}}}} \right) = \left( {\lim {u_n}} \right)\lim {1 \over {{v_n}}} = L.0 = 0\)

LG c

Nếu \(\lim {u_n} = + \infty \) (hoặc \( - \infty \)) và \(\lim {v_n} = L \in R\) thì \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = + \infty \) (hoặc \( - \infty \))

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(\lim {u_n} = + \infty \)và \(\lim {v_n} = L.\) Khi đó

\({u_n} + {v_n} = {u_n}\left( {1 + {{{v_n}} \over {{u_n}}}} \right)\)

Theo b), ta có \(\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = 0\). Vì \(\lim {u_n} = + \infty \) và \(\lim \left( {1 + {{{v_n}} \over {{u_n}}}} \right) = 1 > 0\) nên \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = + \infty \)

Nhận xét. Tương tự, có thể chứng minh được rằng

a) Nếu dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn (tức là tồn tại một số dương M sao cho \(\left| {{u_n}} \right| \le M\) với mọi n) và \(\lim \left| {{u_n}} \right| = + \infty \) thì \(\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = 0\)

b) Nếu \(\lim {u_n} = + \infty \)(hay \( - \infty \)) và \(\left( {{v_n}} \right)\) là một dãy số bị chặn thì

\(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = + \infty \) (hay \( - \infty \))

Loigiaihay.com