Câu 4.30 trang 138 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho hai dãy số

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\). Chứng minh rằng

 

LG a

 Nếu \({u_n} \le {v_n}\) với mọi n và \(\lim {u_n} =  + \infty \) thì \({{\mathop{\rm limv}\nolimits} _n} =  + \infty \)         

 

Lời giải chi tiết:

Suy ra từ định nghĩa của dãy số có giới hạn \( + \infty \)

 

LG b

Nếu \(\lim {u_n} = L \in R\) và \(\lim \left| {{v_n}} \right| =  + \infty \) thì \(\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = 0\) 

 

Lời giải chi tiết:

Vì  \(\lim \left| {{v_n}} \right| =  + \infty \) nên \(\lim {1 \over {{v_n}}} = 0.\) Do đó

\(\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = \lim \left( {{u_n}.{1 \over {{v_n}}}} \right) = \left( {\lim {u_n}} \right)\lim {1 \over {{v_n}}} = L.0 = 0\)

 

LG c

Nếu \(\lim {u_n} =  + \infty \) (hoặc \( - \infty \)) và  \(\lim {v_n} = L \in R\) thì \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) =  + \infty \) (hoặc \( - \infty \))

 

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(\lim {u_n} =  + \infty \)và \(\lim {v_n} = L.\) Khi đó

                        \({u_n} + {v_n} = {u_n}\left( {1 + {{{v_n}} \over {{u_n}}}} \right)\)

Theo b), ta có \(\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = 0\). Vì \(\lim {u_n} =  + \infty \) và \(\lim \left( {1 + {{{v_n}} \over {{u_n}}}} \right) = 1 > 0\) nên \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) =  + \infty \)

Nhận xét. Tương tự, có thể chứng minh được rằng

a) Nếu dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn (tức là tồn tại một số dương M sao cho \(\left| {{u_n}} \right| \le M\) với mọi n) và \(\lim \left| {{u_n}} \right| =  + \infty \) thì \(\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = 0\)

b) Nếu \(\lim {u_n} =  + \infty \)(hay \( - \infty \)) và \(\left( {{v_n}} \right)\) là một dãy số bị chặn thì

                        \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) =  + \infty \) (hay \( - \infty \))

Loigiaihay.com

 

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí