Câu 3.62 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Ba số x , y , z , theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; đồng thời, chúng lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một cấp số cộng.

Đề bài

Ba số \(x , y , z \), theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; đồng thời, chúng lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một cấp số cộng. Hãy tìm ba số đó, biết rằng tổng của chúng bằng 13.

Lời giải chi tiết

Vì dãy số \(x,y,z\) là một cấp số nhận nên \({y^2} = x.z\)

Kí hiệu \(d\) là công sai của cấp số cộng nhận các số \(x,y,z\) lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ 9, ta có \(y - x = 2d\) và \(x - y = \left( {z - x} \right) - \left( {y - x} \right) = 8d - 2d\)\( = 6d.\) Từ đó, suy ra \(z - y = 3.\left( {y - x} \right),\) hay \(z + 3x = 4y.\) Như vậy, từ các giả thiết của bài ra ta được

\(\left\{ \matrix{
{y^2} = x.z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr 
z + 3x = 4y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr 
z + y + z = 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \hfill \cr} \right.\)

Từ (2) và (3), ta có \(x = {{5y - 13} \over 2}\) và \(z = {{39 - 7y} \over 2}.\) Thế \(x\) và \(z\) vào (1), ta được

\(4{y^2} = \left( {5y - 13} \right)\left( {39 - 7y} \right)\) hay \(3{y^2} - 22y + 39 = 0\)

Từ \(y = 3\) hoặc \(y = {{13} \over 3}\)

- Với  \(y = 3\) ta có \(x = {{5.3 - 13} \over 2} = 1\,\) và \(z = {{39 - 7.3} \over 2} = 9\)

- Với \(y = {{13} \over 3}\) ta có \(x = {{5 \times {{13} \over 3} - 13} \over 2} = {{13} \over 3}\) và \(z = {{39 - 7 \times {{13} \over 3}} \over 2} = {{13} \over 3}\)

Ngược lại, dễ thấy các số \(x = 1,y = 3,z = 9,\) cũng như các số \(x = {{13} \over 3}\),\(y = {{13} \over 3}\),\(z = {{13} \over 3}\), đều thỏa mãn các điều kiện của đề bài. 

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 4. Cấp số nhân

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài