Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 4. Cấp số nhân

Câu 3.55 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho cấp số nhân

Đề bài

Cho cấp số nhân \(({u_n})\) và cho các số nguyên dương m, k với \(m < k.\) Chứng minh rằng

   \(\left| {{u_k}} \right| = \sqrt {{u_{k - m}}.{u_{k + m}}} .\)

Áp dụng. Hãy tìm một cấp số nhân với công bội âm, có 7 số hạng, số hạng thứ hai bằng 2 và tích của số hạng đầu với số hạng cuối bằng 18.

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

Lời giải chi tiết

Kí hiệu q là công bội của cấp số nhân \(({u_n})\). Xét hai trường hợp sau :

\( - \) Trường hợp 1 : \(q = 0.\)  Khi đó \({u_n} = 0\)  với mọi \(n \ge 2.\) Vì thế, hiển nhiên ta có điều cần chứng minh.

\( - \) Trường hợp 2 : \(q \ne 0.\) Khi đó

\(\begin{array}{l}
{u_{k - m}} = {u_1}.{q^{k - m - 1}} = \dfrac{{{u_1}.{q^{k - 1}}}}{{{q^m}}} = \dfrac{{{u_k}}}{{{q^m}}}\\
{u_{k + m}} = {u_1}.{q^{k + m - 1}} = {u_1}.{q^{k - 1}}.{q^m} \\= {u_k}.{q^m}
\end{array}\)

Từ đó suy ra \({u_{k - m}}.{u_{k + m}} = u_k^2\) hay \(\left| {{u_k}} \right| = \sqrt {{u_{k - m}}.{u_{k + m}}} \)

Áp dụng. Với mỗi \(n \in \left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\},\) kí hiệu \({u_n}\) là số hạng thứ n của cấp số nhân cấn tìm. Theo giả thiết của bài ra, ta có \({u_3} = 2\) và \({u_1}.{u_7} = 18.\)

Vì cấp số nhân cần tìm có công bội âm và \({u_3} > 0\) nên \({u_4} < 0\). Do đó, áp dụng kết quả đã chứng minh ở trên cho \(m = 3\) và \(k = 4,\) ta được

         \({u_4} =  - \sqrt {{u_1}.{u_7}}  =  - \sqrt {18}  =  - 3\sqrt 2 .\)

Suy ra \(q = {{{u_4}} \over {{u_3}}} =  - {{3\sqrt 2 } \over 2}.\) Do đó

\(\eqalign{
& {u_2} = {{{u_3}} \over q} = - {{2\sqrt 2 } \over 3},{u_1} = {{{u_2}} \over q} = {4 \over 9},\cr&{u_5} = {u_4},q = 9,{u_6} = {u_5}.q = - {{27\sqrt 2 } \over 2}, \cr 
& {u_7} = {u_6}.q = {{81} \over 2} \cr} \)

Vậy, cấp số nhân cần tìm là : \({4 \over 9}, - {{2\sqrt 2 } \over 3},2, - 3\sqrt 2 ,9, - {{27\sqrt 2 } \over 2},{{81} \over 2}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua