Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 4. Cấp số nhân

Câu 3.48 trang 93 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Xét dãy số

Đề bài

Xét dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = a\) và \({u_{n + 1}} = {{12} \over {{u_n}}}\) với mọi \(n \ge 1,\) trong đó a là một số thực khác 0.

Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

Từ giả thiết \(a \ne 0\) dễ dàng suy ra \({u_n} \ne 0\) với mọi \(n \ge 1.\)

Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra tất cả các số hạng của dãy số đó có cùng một loại dấu.

Giả sử \(({u_n})\) là một cấp số nhân. Khi đó, tồn tại một hằng số \(q > 0\) sao cho

                      \({u_{n + 1}} = {u_n}.q\) với mọi \(n \ge 1\)     (1)

Từ (1) và hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra

                      \(u_n^2 = {{12} \over q}\) với mọi \(n \ge 1\)    (2)

Xét hai trường hợp sau:

- Trường hợp 1: \(a > 0.\) Khi đó, ta có \({u_n} > 0\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, từ (2) ta được

                                \({u_n} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt q }}\) với mọi \(n \ge 1.\)

Hay \(({u_n})\) là một dãy số không đổi. Do vậy, phải có \({u_2} = a\) hay \({{12} \over a} = a.\) Dẫn tới \(a = 2\sqrt 3 \)

- Trường hợp 2: \(a < 0.\) Khi đó, ta có \({u_n} < 0\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, từ (2) ta được

                                \({u_n} =  - {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt q }}\) với mọi \(n \ge 1.\)

Hay \(({u_n})\) là một dãy số không đổi. Do vậy, phải có \({u_2} = a\) hay \({{12} \over a} = a.\) Dẫn tới \(a =  - 2\sqrt 3 \)

Ngược lại:

- Với \(a = 2\sqrt 3 \) dễ dàng chứng minh được \({u_n} = 2\sqrt 3 \) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó, dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân với công bộ \(q = 1\)

- Với \(a =  - 2\sqrt 3 \) dễ dàng chứng minh được \({u_n} =  - 2\sqrt 3 \) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó, dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân với công bộ \(q = 1\)

Tóm lại, tất cả các giá trị a cần tìm là \(a = 2\sqrt 3 \) và \(a =  - 2\sqrt 3 \).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store