Bài 8 trang 100 SGK Hình học 12


Giải bài 8 trang 100 SGK Hình học 12. Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1; 1), D(3 ; 0 ;3).

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong không gian \(Oxyz\) cho các điểm \(A(1; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1; 1), D(3 ; 0 ;3)\).

LG a

Chứng minh rằng \(A, B, C, D\) không đồng phẳng.

Phương pháp giải:

Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và chứng minh \(D \notin \left( {ABC} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB} = (2; 4; -1)\), \(\overrightarrow {AC} = (3; -1; 2)\)

Ta có: \( \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] =  (7; -7; -14)=7(1;-1;-2)\)

Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) \( \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {1; - 1; - 2} \right)\)

Khi đó phương trình mp \((ABC)\): \((x - 1) - (y - 0) -2(z + 1) = 0 \)

\(\Leftrightarrow x - y - 2z - 3 = 0\).

Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có: \(3 - 0 - 2.3 - 3 =  - 6 \ne 0 \Rightarrow D \notin \left( {ABC} \right)\).

Vậy \(A, B, C, D\) không đồng phẳng.

LG b

Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) và tính khoảng cách từ \(D\) đến \((ABC)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\,\,\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2} > 0} \right)\) là: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle d(D, (ABC))\) =\(\displaystyle {{\left| {1.3 - 0 - 2.3 - 3} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {6 \over {\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \)

LG c

Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).

Phương pháp giải:

Gọi phương trình tổng quát của mặt cầu là \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\).

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình mặt cầu trên, suy ra được hệ 4 phương trình 4 ẩn A, B, C, D. Giải hệ phương trình sau đó suy ra phương trình mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

Phương trình tổng quát của mặt cầu:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\)

Mặt cầu đi qua \(A(1; 0; -1)\) ta có:

\({1^2} + {0^2} + {( - 1)^2} + 2A - 2C + D = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2A - 2C + D + 2 = 0 \)(1)

Tương tự, mặt cầu đi qua \(B, C, D\) cho ta các phương trình:

\(6A + 8B - 4C + D + 29 = 0 \)     (2)

\(8A - 2B + 2C + D + 18 = 0 \)    (3)

\(6A  + 6C + D + 18 = 0  \)    (4)

Hệ bốn phương trình (1), (2), (3), (4) cho ta: \(A = -3; B =- 2; C = {-1 \over 2}; D = 3\).

Vậy hương trình mặt cầu đi qua bốn điểm \(A, B, C, D\) là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} -6 x - 4y - z +3 = 0\)

Cách khác:

Ta có:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4; - 1} \right),\overrightarrow {AD}  = \left( {2;0;4} \right),\) \(\overrightarrow {CB}  = \left( { - 1;5; - 3} \right),\overrightarrow {CD}  = \left( { - 1;1;2} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0\) và \(\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD}  = 0\)

\( \Rightarrow CB \bot CD,AB \bot AD\)

Nên hai tam giác \(ABD,CBD\) vuông tại \(A,C\).

Gọi \(I\) là trung điểm \(BD\) thì \(IA = IB = ID = IC = \dfrac{{BD}}{2}\) nên \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Mà \(B\left( {3;4; - 2} \right),D\left( {4; - 1;1} \right)\) nên \(I\left( {3;2;\dfrac{1}{2}} \right)\).

Bán kính \(R = \dfrac{{BD}}{2} = \dfrac{{\sqrt {0 + 16 + 25} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {41} }}{2}\).

Phương trình mặt cầu: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{41}}{4}\) hay \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 4y - z + 3 = 0\)

LG d

Tính thể tích tứ diện \(ABCD\).

Phương pháp giải:

\({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \left( {2;0;4} \right)\)

\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = 7.2 - 7.0 - 14.4 =  - 42\)

Vậy \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{1}{6}.42 = 7\)

Cách khác:

Ta có: \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4; - 1} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {3; - 1;2} \right)\) \( \Rightarrow AB = \sqrt {4 + 16 + 1}  = \sqrt {21} ,\) \(AC = \sqrt {9 + 1 + 4}  = \sqrt {14} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Rightarrow AB \bot AC\)

\( \Rightarrow \) tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC\) \( = \dfrac{1}{2}\sqrt {21} .\sqrt {14}  = \dfrac{{7\sqrt 6 }}{2}\).

Mà \(d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \sqrt 6 \) nên \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right)\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{7\sqrt 6 }}{2}.\sqrt 6  = 7\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 6 phiếu

Các bài liên quan: - ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC 12

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài