Bài 2 trang 99 SGK Hình học 12


Giải bài 2 trang 99 SGK Hình học 12. Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B'C' và C'D'.

Đề bài

Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(C'D'\). Mặt phẳng \((AEF)\) chia khối lập phương đó thành hai khối đa diện (H) và (H') trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh \(A'\). Tính thể tích của (H).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xác định thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (AEF).

Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.

Tính thể tích của (H'): \({V_{\left( {H'} \right)}} = {V_{C'EF.C{B_1}{D_1}}} - {V_{A.B{B_1}D}} - {V_{D{D_1}K}}\)

Lời giải chi tiết

Cách vẽ thiết diện:

Ta có \(EF // B'D'\) mà \(B'D' // BD\) nên từ \(A\) kẻ đường song song với \(BD\), cắt \(CD\) kéo dài tại \(D_1\) và \(CB\) kéo dài tại \(B_1\).

Nối \(B_1E\) cắt \(BB'\) tại \(G\). Nối \(D_1F\) cắt \(DD'\) tại \(K\).

Thiết diện là ngũ giác \(AGEFK\).

Hình (H) là khối \(AGEFK.A'B'D'\).

Theo giả thiết \(E\) là trung điểm của \(B'C'\); \(F\) là trung điểm của \(C'D'\), ta có \(BB_1= BC = a = 2B'E\) \( \Rightarrow BG = 2GB' = {2 \over 3}a\)

Từ đó \({V_{A.B{B_1}G}} = \frac{1}{3}AB.{S_{B{B_1}G}} = \frac{1}{3}a.\frac{1}{2}.a.\frac{2}{3}a = \frac{{{a^3}}}{9} = {V_1}\)

\({V_{(A.D{D_1}K)}} = {1 \over 3}.{S_{\Delta D{D_1}K}}.AD = {1 \over 9}{a^3} = {V_2}\)

Ta có:

\({S_{\Delta C{B_1}{D_1}}} = {1 \over 2}C{B_1}.C{D_1} = 2{a^2}\);

\({S_{\Delta EC'F}} = {1 \over 2}.C'E.C'F = {{{a^2}} \over 8}\)

Chiều cao hình chóp cụt \(CB_1D_1.C'EF \)là \(CC' = a\)

\({V_{C{C_1}{D_1}.C'EF}} = {1 \over 3}a\left( {2{a^2} + {{{a^2}} \over 8} + {{{a^2}} \over 2}} \right) = {{7{a^3}} \over 8}\)

Thể tích của khối (H') bằng:

\({V_{(H')}} = {V_{C{C_1}{D_1}.C'EF}} - ({V_1} + {V_2}) = {7 \over 8}{a^3} - {2 \over 9}{a^3} = {{47} \over {72}}{a^3}\)

Từ đó thể tích của khối (H) bằng:

\({V_{(H)}} = V\)lập phương\(-V\)(H') = \(a^3 - {{47} \over {72}}{a^3} = {{25} \over {72}}{a^3}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 12 phiếu

Các bài liên quan: - ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC 12

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài