Bài 13 trang 101 SGK Hình học 12


Giải bài 13 trang 101 SGK Hình học 12. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:a) Chứng minh rằng d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.

Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng: 

\({d_1}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 1 + 2t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 1 + t'\\z = - 3 + 2t'\end{array} \right.\)

a) Chứng minh rằng d1 và d2  cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Viết phương trình mặt phẳng đó.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(\left[ {\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 0\), với \(\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_2}} \) lần lượt là các VTCP của \({d_1};{d_2}\) và \({M_1} \in {d_1};\,\,{M_2} \in {d_2}\).

b) Mặt phẳng chứa \({d_1};{d_2}\) đi qua \({M_1}\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}} } \right]\) là 1 VTPT.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng d1 đi qua điểm \(M_1(-1; 1; 3)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{a_1}}  = (3;2; - 2)\)

Đường thẳng d2 đi qua điểm \(M_2\)\((0; 1; -3)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{a_2}} = (1; 1; 2)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (6; -8; 1)\), \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (1; 0; -6)\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]\). \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 0\)

Vậy ba vectơ \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳng hay hai đường thẳng d1, d2 nằm cùng một mặt phẳng.

Cách khác:

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 + 3t = t'\\1 + 2t = 1 + t'\\3 - 2t =  - 3 + 2t'\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3t - t' = 1\\2t - t' = 0\\ - 2t - 2t' =  - 6\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Hệ có nghiệm duy nhất hay hai đường thẳng cắt nhau tại điểm \(A\left( {2;3;1} \right)\)

b) Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa d1 và d2.

Khi đó \((P)\) qua điểm \(M_1 (-1; 1; 3)\) và có vectơ pháp tuyến

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (6; -8; 1)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng:

\(6(x + 1) - 8(y - 1) + (z - 3) = 0\)

\(\Leftrightarrow  6x - 8y + z + 11 = 0\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 9 phiếu

Các bài liên quan: - ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC 12

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài