Bài 16 trang 102 SGK Hình học 12


Giải bài 16 trang 102 SGK Hình học 12. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) có phương trình 4x + y + 2z + 1 = 0 và mặt phẳng (β) có phương trình 2x - 2y + z + 3 = 0.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(4x + y + 2z + 1 = 0\) và mặt phẳng \((β)\) có phương trình \(2x - 2y + z + 3 = 0\).

LG a

a) Chứng minh rằng \((α)\) cắt \((β)\).

Phương pháp giải:

Gọi \(\overrightarrow {n_1} ;\overrightarrow {n_2} \) lần lượt là VTPT của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right);\,\,\left( \beta  \right)\), chứng minh hai vector \({\overrightarrow {n_1} ;\overrightarrow {n_2} }\) không cùng phương.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_1}  = (4; 1; 2)\)

Mặt phẳng \((β)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_2}  = (2; -2; 1)\)

Vì \({4 \over 2} \ne {1 \over { - 2}} \ne {2 \over 1} \Rightarrow \overrightarrow {n_1} \) và \(\overrightarrow {n_2} \) không cùng phương.

Suy ra \((α)\) và \((β)\) cắt nhau.

LG b

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là giao của \((α)\) và \((β)\).

Phương pháp giải:

Tìm một điểm thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \matrix{4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr 2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\), điểm đó thuộc d.

\(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right]\) là 1 VTCP của đường thẳng \(d\).

Viết phương trình tham số của đường thẳng biết một điểm đi qua và VTCP.

Lời giải chi tiết:

\((α)\) cắt \((β)\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) có giá vuông góc với đường thẳng \(d\), vì vậy vectơ \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]= (5; 0; -10\)) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

Ta có thể chọn vectơ \(\overrightarrow u = (1; 0; -2)\) làm vectơ chỉ phương.

Ta tìm một điểm nằm trên \(d\).

Xét hệ\(\left\{ \matrix{
4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr 
2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\)

Cho \(x = 1\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + 2z =  - 5\\ - 2y + z =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z =  - 3\end{array} \right.\) nên \({M_0}\left( {1;1; - 3} \right) \in \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right)\) hay \({M_0} \in d\)

Phương trình tham số của \(d\) là:\(\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr 
y = 1 \hfill \cr 
z = - 3 - 2t \hfill \cr} \right.\)

LG c

c) Tìm điểm \(M'\) đối xứng với điểm \(M(4 ; 2 ; 1)\) qua mặt phẳng \((α)\).

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng \((α)\).

- Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng \((α)\).

- Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của d và mặt phẳng \((α)\).

Khi đó H là trung điểm của MM', suy ra tọa độ của điểm M'.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (4; 1; 2)\).

Đường thẳng \(∆\) đi qua \(M(4; 2; 1)\) và vuông góc với \((α)\), nhận vectơ \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương và có phương trình tham số: 

\(\left\{ \matrix{
x = 4 + 4t \hfill \cr 
y = 2 + t \hfill \cr 
z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\)

Gọi \(H = \Delta  \cap \left( \alpha  \right)\) \( \Rightarrow H\left( {4 + 4t;2 + t;1 + 2t} \right)\).

Thay tọa độ \(H\) vào \(\left( \alpha  \right)\) ta có:

\(4(4 + 4t) + (2 + t) + 2(1 + 2t) + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 21t + 21 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \) \(\Rightarrow H (0; 1; -1)\)

Gọi \(M' (x; y; z)\) đối xứng với \(M\) qua mp \((α)\) thì H là trung điểm MM'

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M}\\{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2.0 - 4 =  - 4\\{y_{M'}} = 2.1 - 2 = 0\\{z_{M'}} = 2.\left( { - 1} \right) - 1 =  - 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M'\left( { - 4;0; - 3} \right)\)

LG d

d) Tìm điểm \(N'\) đối xứng với điểm \(N(0 ; 2 ; 4)\) qua đường thẳng \(d\).

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ hình chiếu I của điểm N trên đường thẳng \(d\).

  - Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua N và vuông góc với đường thẳng \(d\).

  - Tìm tọa độ điểm I là giao điểm của (P) và đường thẳng \(d\).

Khi đó I là trung điểm của NN', suy ra tọa độ của điểm N'.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = (1; 0; -2)\).

Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(N(0; 2; 4)\) và vuông góc với \(d\), nhận \(\overrightarrow a \) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình:

\(1(x - 0) + 0(y - 2) - 2(z - 4) = 0\)

\((P)\): \(x - 2z + 8 = 0\)

Ta tìm giao điểm \(I\) của \(d\) và \((P)\). Ta có:

\(1+s - 2(-3-2s) + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow  s = -3 \Leftrightarrow I( -2; 1; 3)\)

\(N' (x; y; z)\) là điểm đối xứng của \(N\) qua \(d\) thì \(\overrightarrow {NN'}  = 2\overrightarrow {NI} \)

\(\overrightarrow {NI} = (-2; -1; -1)\), \(\overrightarrow {NN'}  = (x; y - 2; z - 4) \)

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = ( - 2).2 \hfill \cr 
y - 2 = ( - 1).2 \hfill \cr 
z - 4 = ( - 1).2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr 
y = 0 \hfill \cr 
z = 2 \hfill \cr} \right.\)

\(\Rightarrow N'( - 4;0;2)\)

Cách khác:

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(N\) trên \(d\)\( \Rightarrow I\left( {1 + t;1; - 3 - 2t} \right) \in d\).

\(\overrightarrow {NI}  = \left( {1 + t; - 2; - 7 - 2t} \right)\)

\(IN \bot d\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {IN} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\)

\( \Leftrightarrow 1.\left( {1 + t} \right) + 0.\left( { - 2} \right) - 2.\left( { - 7 - 2t} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 1 + t + 14 + 4t = 0\)

\( \Leftrightarrow 15 + 5t = 0 \Leftrightarrow t =  - 3\)

\( \Rightarrow I\left( { - 2;1;3} \right)\)

\(N'\) đối xứng \(N\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm \(NN'\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{N'}} = 2{x_I} - {x_N}\\{y_{N'}} = 2{y_I} - {y_N}\\{z_{N'}} = 2{z_I} - {z_N}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{N'}} = 2.\left( { - 2} \right) - 0 =  - 4\\{y_{N'}} = 2.1 - 2 = 0\\{z_{N'}} = 2.3 - 4 = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow N'\left( { - 4;0;2} \right)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 8 phiếu

Các bài liên quan: - ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC 12

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài