Bài 14 trang 101 SGK Hình học 12


Giải bài 14 trang 101 SGK Hình học 12. Trong không gian cho ba điểm A, B, C. Xác định điểm G sao cho

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong không gian cho ba điểm \(A, B, C\).

LG a

Xác định điểm \(G\) sao cho \(\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = 0.\)

Phương pháp giải:

Biến đổi đẳng thức vector trong câu a) theo những điểm cố định và suy ra vị trí của điểm G.

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\left( {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {CB} = 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {BC} 
\end{array}\)

Gọi \(D\) là điểm mà \(\overrightarrow {DC}  = 2\overrightarrow {BC} \) tức là điểm \(B\) là trung điểm của \(CD\) \( \Rightarrow \overrightarrow {GA}  = \overrightarrow {DC} \)

Vậy \(G\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(ACDG\).

LG b

Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MA^2 + 2MB^2 - 2MC^2 = k^2\), với \(k\) là hằng số.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ba điểm, chèn điểm G vào tất cả các vector \(\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} ;\overrightarrow {MC} \), biến đổi và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(G\) là điểm trong câu a): \(\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có: \(M{A^2} = {\overrightarrow {MA} ^2}= {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} )^2}\)

\(= M{G^2} + G{A^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} \);

\(M{B^2} = {\overrightarrow {MB} ^2} = {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} )^2}\)

\(= M{G^2} + G{B^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} \);

\(M{C^2} = {\overrightarrow {MC} ^2} = {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} )^2} \)

\(= M{G^2} + G{C^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} \).

Từ đó \(MA^2 +2 MB^2 -2 MC^2 = k^2\)

\( \Leftrightarrow M{G^2} + G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2} \)

\(+ 2\overrightarrow {MG} (\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC} ) = {k^2}\)

\( \Leftrightarrow M{G^2} = {k^2} - (G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2})\) 

(Vì \(\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)).

Do vậy:

Nếu \(k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 > 0\) thì tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính r.

Nếu \(k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 =0\) thì tập hợp M chính là điểm G.

Nếu \(k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 < 0\) thì tập hợp các điểm M chính là tập rỗng.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3 trên 5 phiếu

Các bài liên quan: - ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC 12

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài