Bài 3 trang 99 SGK Hình học 12

Bình chọn:
3.4 trên 5 phiếu

Giải bài 3 trang 99 SGK Hình học 12. Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn đáy (C) và đỉnh I đều thuộc (S) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (S)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho mặt cầu \((S)\) tâm \(O\) bán kính \(r\). Hình nón có đường tròn đáy \((C)\) và đỉnh \(I\) đều thuộc \((S)\) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu \((S)\). Gọi \(h\) là chiều cao của hình nón đó.

LG a

Tính thể tích của hình nón theo \(r\) và \(h\).

Phương pháp giải:

 Thể tích hình nón \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\), trong đó \(R;h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối nón.

Gọi chiều cao của khối nón bằng \(h\), sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính bán kính đáy của hình nón theo \(h\) và \(r\).

Lời giải chi tiết:

Cắt hình vẽ bằng một mặt phẳng qua trục hình nón, ta có hình vẽ trên, trong đó \(AH\) là bán kính đáy hình nón, \(SH\) là chiều cao hình nón \(SH = h\), \(SS'\) là đường kính hình cầu \(SS' = 2r\).

Tam giác \(SAS'\) vuông tại đỉnh \(A\), và \(AH\) là đường cao nên:

\(AH^2= SH.S'H\) \( \Rightarrow AH^2 = h(2r - h)\)

\(V\)nón = \({1 \over 3}\pi .A{H^2}.SH \Rightarrow V\)nón = \({1 \over 3}\pi {h^2}(2r - h)\)

LG b

Xác định \(h\) để thể tích của hình nón là lớn nhất.

Phương pháp giải:

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình nón vừa tìm được ở ý a), sử dụng BĐT Cauchy: \(abc \le {\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^3}\), dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(V\)nón max \( \Leftrightarrow \) \(2V\)nón = \({\pi  \over 3}.{h^2}(4r - 2h)\) lớn nhất.

Ta có \(h^2(4r - 2h) = h.h.(4r - 2h)\)\( \le {\left( {{{h + h + 4r - 2h} \over 3}} \right)^3} = {\left( {{{4r} \over 3}} \right)^3}\)

Dấu bằng xảy ra thì \(V\)nón lớn nhất.

Loigiaihay.com

Khi đó \(h = 4r - 2h\) \( \Rightarrow h = {4 \over 3}r\) 

và \(V\)nón max = \({\pi  \over 6}{\left( {{{4r} \over 3}} \right)^3} = {{32} \over {81}}\pi {r^3}\)

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

Các bài liên quan: - ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC 12

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng