Bài 7 trang 90 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
4 trên 5 phiếu

Giải bài 7 trang 90 SGK Giải tích 12. Giải các phương trình sau:

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \({3^{x + 4}} + {\rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {\rm{ }}{5^{x + 4}} + {\rm{ }}{3^{x + 3}}\)

b) \({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

c) \({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)

d) \(lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)

e) \({\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\)

g) \(\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chuyển vế, đặt nhân tử chung. Đưa về phương trình mũ cơ bản: \(a^x=b\).

b) Đặt ẩn phụ \(t=5^x\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t.

c) Chia phương trình cho \(16^x\) và đặt \(t = {({3 \over 4})^x}(t > 0) \Leftrightarrow x = {\log _{{3 \over 4}}}t\).

d) Chuyển vế, đặt nhân tử chung.

e) Đưa các logarit về cùng cơ số 3, sử dụng công thức cộng các logarit có cùng cơ số: \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\) (Giả sử các biểu thức là có nghĩa).

g) Tìm ĐK.

\(\log f\left( x \right) = \log g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết

\({3^{x + 4}} + {3.5^{x + 3}} = {5^{x + 4}} + {3^{x + 3}}\) \( \Leftrightarrow {3^{\left( {x + 3} \right) + 1}} + {3.5^{x + 3}} - {5^{x + 4}} - {3^{x + 3}} = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{{3.3}^{x + 3}} - {3^{x + 3}}} \right) + \left( {{{3.5}^{x + 3}} - {5^{x + 4}}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {3^{x + 3}}\left( {3 - 1} \right) + {5^{x + 3}}\left( {3 - 5} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} - {2.5^{x + 3}} = 0\) \( \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} = {2.5^{x + 3}}\) \( \Leftrightarrow {3^{x + 3}} = {5^{x + 3}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{{3^{x + 3}}}}{{{5^{x + 3}}}} = 1\) \(\Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^{x + 3}} = 1={\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^{0}}\) \(\Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 3} \right\}\).

b)  \({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Leftrightarrow {5^{2x}}-{6.5^x} + 5= 0\)

Đặt \(t = 5^x\) (\(t > 0\)).

Phương trình trở thành:

\({t^2} - 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 5\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}{5^x} = 1\\{5^x} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {0;1} \right\}\).

c) \({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \(16^x>0\) ta được:

\(4.{\left( {\dfrac{9}{{16}}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{{12}}{{16}}} \right)^x} - 3 = 0 \) \(\Leftrightarrow 4.{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2x}} + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^x} - 3 = 0\)

Đặt \(t = {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^x} (t > 0) \) ta được phương trình:

\(4{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{3}{4}\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 1\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \) \(\Rightarrow x = {\log _{\frac{3}{4}}}\dfrac{3}{4} = 1\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { 1} \right\}\)

d) \(lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)

Điều kiện: \(x > 1\) 

\(\eqalign{
& lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x = lo{g_7}x \cr
& \Leftrightarrow {\log _7}x({\log _7}(x - 1) - 1) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _7}x = 0 \hfill \cr
{\log _7}(x - 1) = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x - 1 = 7 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 8 \hfill \cr} \right. \cr}\)

Kết hợp với điều kiện xác định ta có: \(x = 8\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 8\)

e) \({\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\)

Điều kiện : \(x > 0\)

Ta có:

\(\eqalign{
& {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6 \cr
& \Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x - {\log _3}x = 6 \cr
& \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x = 6 \Leftrightarrow x = {\sqrt{3}^6} \cr 
& \Leftrightarrow x = 27 (tm)\cr} \) 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 27\)

g) \(\log \displaystyle{{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 8\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\)

Khi đó \(\log \dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} = \log x \Leftrightarrow \dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} = x\) \( \Rightarrow x + 8 = x\left( {x - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\left( {TM} \right)\\x =  - 2\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 4\).

Chú ý:

Phương trình \({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f\left( x \right) > 0\end{array} \right.\) hoặc \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\)

Do đó các em chỉ cần giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) và giải một trong hai điều kiện \(f\left( x \right) > 0\) hoặc \(g\left( x \right) > 0\) (điều kiện nào đơn giản hơn thì ta giải).

Ta có thể trình bày lại câu d như sau:

Ta có:

\(\eqalign{
& \log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x \Leftrightarrow {{x + 8} \over {x - 1}} = x > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 0,x \ne 1 \hfill \cr
{x^2} - 2x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow x = 4 \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 4\)

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.