Bài 7 trang 90 SGK Giải tích 12


Giải bài 7 trang 90 SGK Giải tích 12. Giải các phương trình sau:

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau:

LG a

a) \({3^{x + 4}} + {\rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {\rm{ }}{5^{x + 4}} + {\rm{ }}{3^{x + 3}}\)

Phương pháp giải:

Chuyển vế, đặt nhân tử chung. Đưa về phương trình mũ cơ bản: \(a^x=b\).

Lời giải chi tiết:

\({3^{x + 4}} + {3.5^{x + 3}} = {5^{x + 4}} + {3^{x + 3}}\) \( \Leftrightarrow {3^{\left( {x + 3} \right) + 1}} + {3.5^{x + 3}} - {5^{x + 4}} - {3^{x + 3}} = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{{3.3}^{x + 3}} - {3^{x + 3}}} \right) + \left( {{{3.5}^{x + 3}} - {5^{x + 4}}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {3^{x + 3}}\left( {3 - 1} \right) + {5^{x + 3}}\left( {3 - 5} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} - {2.5^{x + 3}} = 0\) \( \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} = {2.5^{x + 3}}\) \( \Leftrightarrow {3^{x + 3}} = {5^{x + 3}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{{3^{x + 3}}}}{{{5^{x + 3}}}} = 1\) \(\Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^{x + 3}} = 1={\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^{0}}\) \(\Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 3} \right\}\).

LG b

b) \({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t=5^x\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t.

Lời giải chi tiết:

\({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Leftrightarrow {(5^{x})^2}-{6.5^x} + 5= 0\)

Đặt \(t = 5^x\) (\(t > 0\)).

Phương trình trở thành:

\({t^2} - 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 5\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}{5^x} = 1\\{5^x} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {0;1} \right\}\).

LG c

c) \({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)

Phương pháp giải:

Chia phương trình cho \(16^x\) và đặt \(t = {({3 \over 4})^x}(t > 0) \).

Lời giải chi tiết:

\({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \(16^x>0\) ta được:

\( \Leftrightarrow 4.\dfrac{{{9^x}}}{{{{16}^x}}} + \dfrac{{{{12}^x}}}{{{{16}^x}}} - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow 4.{\left( {\dfrac{9}{{16}}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{{12}}{{16}}} \right)^x} - 3 = 0 \)

\(\Leftrightarrow 4.{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2x}} + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^x} - 3 = 0\)

Đặt \(t = {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^x} (t > 0) \) ta được phương trình:

\(4{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{3}{4}\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 1\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \) \( \Rightarrow {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^x} = \dfrac{3}{4} = {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^1} \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { 1} \right\}\)

LG d

d) \(lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)

Phương pháp giải:

Chuyển vế, đặt nhân tử chung.

Lời giải chi tiết:

\(lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)

Điều kiện: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 > 0\\
x > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
x > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\)

\(\eqalign{
& lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x = lo{g_7}x \cr & \Leftrightarrow {\log _7}\left( {x - 1} \right).{\log _7}x - {\log _7}x = 0\cr 
& \Leftrightarrow {\log _7}x({\log _7}(x - 1) - 1) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _7}x = 0 \hfill \cr 
{\log _7}(x - 1) = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x - 1 = 7 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1(loai) \hfill \cr 
x = 8(TM) \hfill \cr} \right. \cr}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 8\)

LG e

e) \({\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\)

Phương pháp giải:

Đưa các logarit về cùng cơ số 3, sử dụng công thức cộng các logarit có cùng cơ số: \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\) (Giả sử các biểu thức là có nghĩa).

Lời giải chi tiết:

\({\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\)

Điều kiện : \(x > 0\)

Ta có:

\(\eqalign{
& {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6 \cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _{{3^{1/2}}}}x + {\log _{{3^{ - 1}}}}x = 6\\
\Leftrightarrow {\log _3}x + 2{\log _3}x - {\log _3}x = 6\\
\Leftrightarrow 2{\log _3}x = 6\\
\Leftrightarrow {\log _3}x = 3\\
\Leftrightarrow x = {3^3} = 27
\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 27\)

LG g

g) \(\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\)

Phương pháp giải:

Tìm ĐK.

\(\log f\left( x \right) = \log g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\log \displaystyle{{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 8\end{array} \right.\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow x > 1\)

Khi đó \(\log \dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} = \log x \Leftrightarrow \dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} = x\) \( \Rightarrow x + 8 = x\left( {x - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\left( {TM} \right)\\x =  - 2\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 4\).

Chú ý:

Phương trình \({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f\left( x \right) > 0\end{array} \right.\) hoặc \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\)

Do đó các em chỉ cần giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) và giải một trong hai điều kiện \(f\left( x \right) > 0\) hoặc \(g\left( x \right) > 0\) (điều kiện nào đơn giản hơn thì ta giải).

Ta có thể trình bày lại câu d như sau:

Ta có:

\(\eqalign{
& \log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x \Leftrightarrow {{x + 8} \over {x - 1}} = x > 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 0,x \ne 1 \hfill \cr 
{x^2} - 2x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow x = 4 \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 4\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.2 trên 12 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài